Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

（1）求點B的坐標(biāo)；

（2）求二次函數(shù)的解析式；

（3）已知C為拋物線與y軸的交點，設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標(biāo)為（1，0）；（2）二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3；（3）當(dāng)x＝﹣時，QD有最大值

【解析】

（1）利用拋物線的對稱性求出點B的坐標(biāo)；

（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（3）先求出直線AC的解析式，進(jìn)而設(shè)出點Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出D的坐標(biāo)，得出QD＝﹣x2﹣3x（﹣3≤x≤0），即可得出結(jié)論．

（1）∵對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，

∴A、B兩點關(guān)于直線x＝﹣1對稱，

∵點A的坐標(biāo)為（﹣3，0），

∴點B的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）∵拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，

∴﹣＝﹣1，解得b＝2，

將B（1，0）代入y＝x2+2x+c，

得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，

則二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t，將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入

得 ，

∴ ，

即直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3；

設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），

則D點坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），

QD＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，

∴當(dāng)x＝﹣時，QD有最大值．