【題目】倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式,著力教材研究,習(xí)題研究,是學(xué)生跳出題海,提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑.下面是一案例,請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究,完成“類(lèi)比猜想”及后面的問(wèn)題.

習(xí)題解答

習(xí)題:如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,說(shuō)明理由.

解:

∵正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=90°

∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′,點(diǎn)F、D、E′在一條直線上.

∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF.

又∵AE′=AE,AF=AF

∴△AE′FF≌△AEF(SAS)

∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF.

習(xí)題研究.

觀察分析:

觀察圖1,由解答可知,該題有用的條件是①.ABCD是四邊形,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上;②.AB=AD;③.∠B=∠D=90°∠;④.∠EAF=∠BAD.

類(lèi)比猜想:

在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,當(dāng)AB=AD,∠B=∠D時(shí),還有EF=BE+DF嗎?

要解決上述問(wèn)題,可從特例入手,請(qǐng)同學(xué)們思考:如圖2,在菱形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,當(dāng)∠BAD=120°,∠EAF=60°時(shí),還有EF=BE+DF嗎?試證明.

(2)在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,當(dāng)AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=∠BAD時(shí),還有EF=BE+DF嗎?使用圖3證明.

歸納概括:

反思前面的解答,思考每個(gè)條件的作用,可以得到一個(gè)結(jié)論“EF=BE+DF”的一般命題:

【答案】答案見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析:(1)把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至ADE,如圖(2),連結(jié)EF,根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AEEAF=EAF,利用“SAS”證明AEF≌△AEF,得到EF=EF;由于ADE+ADC=120°,則點(diǎn)F、D、E不共線,所以DE+DF>EF,即由BE+DF>EF;

(2)把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)BAD的度數(shù)至ADE,如圖(3),根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE,EAF=EAF,然后利用“SAS”證明AEF≌△AEF,得到EF=EF,由于ADE+ADC=180°,知F、D、E共線,因此有EF=DE+DF=BE+DF;根據(jù)前面的條件和結(jié)論可歸納出結(jié)論.

試題解析:(1)如圖(2),

當(dāng)∠BAD=120°,∠EAF=60°時(shí),EF=BE+DF不成立,EF<BE+DF.

理由如下:

∵在菱形ABCD中,∠BAD=120°,∠EAF=60°,

∴AB=AD,∠1+∠2=60°,∠B=∠ADC=60°,

∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′,如圖(2),連結(jié)E′F,

∴∠EAE′=120°,∠1=∠3,AE′=AE,DE′=BE,∠ADE′=∠B=60°,

∴∠2+∠3=60°,

∴∠EAF=∠E′AF,

在△AEF和△AE′F中

,

∴△AEF≌△AE′F(SAS),

∴EF=E′F,

∵∠ADE′+∠ADC=120°,即點(diǎn)F、D、E′不共線,

∴DE′+DF>EF

∴BE+DF>EF;

(2)當(dāng)AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=∠BAD時(shí),EF=BE+DF成立.

理由如下:如圖(3),

∵AB=AD,

∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′,如圖(3),

∴∠EAE′=∠BAD,∠1=∠3,AE′=AE,DE′=BE,∠ADE′=∠B,

∵∠B+∠D=180°,

∴∠ADE′+∠D=180°,

∴點(diǎn)F、D、E′共線,

∵∠EAF=∠BAD,

∴∠1+∠2=∠BAD,

∴∠2+∠3=∠BAD,

∴∠EAF=∠E′AF,

在△AEF和△AE′F中

∴△AEF≌△AE′F(SAS),

∴EF=E′F,

∴EF=DE′+DF=BE+DF;

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