【題目】如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=15,BC=20.動點(diǎn)P在線段CB上,以1cm/s的速度從點(diǎn)C向B運(yùn)動,連接AP,作CE⊥AB分別交AP、AB于點(diǎn)F、E,過點(diǎn)P作PD⊥AP交AB于點(diǎn)D.
(1)線段CE= ;
(2)若t=5時,求證:△BPD≌△ACF;
(3)t為何值時,△PDB是等腰三角形;
(4)求D點(diǎn)經(jīng)過的路徑長.
【答案】(1)12;(2)答案見解析;(3);(4)12.5
【解析】試題分析:(1)由勾股定理求出AB的長,再由面積法即可得到結(jié)論;
(2)用ASA證明即可;
(3)作DG⊥BC,垂足為G,由(2)得∠CAP=∠GPD,可得△ACP∽△PGD.分三種情況討論:①DP=DB,②PD=PB,③PB=DB;
(4)當(dāng)AP平分∠CAB時,D′B最長,點(diǎn)CB上運(yùn)動時,D在D′B之間往返運(yùn)動.故點(diǎn)D運(yùn)動路徑的長=2BD′,求出BD′的長即可.
試題解析:解:(1)∵∠ACB=90°,AC=15,BC=20,∴AB==25.∵ABCE=ACBC,,∴25CE=15×20,解得:CE=12.
(2)∵ t=5,∴BF=15,∴AC=BF
∵∠APC+∠BPD=∠APC+∠CAP=90° ,∴∠BPD=∠CAP.
∵∠ACE+∠BCE=∠BCE+∠B=90° ,∴∠ACE=∠B,∴△BPD≌△ACF.
(3)作DG⊥BC,垂足為G,由(2)得:∠CAP=∠GPD.∵∠ACP=∠PGD=90°,∴△ACP∽△PGD.分三種情況討論:
①若DP=DB,則∠GPD=∠B ∴tan∠GPD=tan∠B=,∴ ,∴;
②若PD=PB,則∠PDB=∠B.∵△ACP∽△PGD,∴∠APC=∠PDG.∵∠PDC>∠B,∴∠PDG>∠B=∠PDB,則點(diǎn)G在PB的延長線上,矛盾,故PD=PB不成立;
③若PB=DB,則BD=20-t.∵DG∥AC,∴DG:DB=AC:AB,GB:DB=CB:AB,∴DG:(20-t)=15:25,GB:(20-t)=20:25,解得:DG=,GB=,∴PG=PB-GB=(20-t)- =.∵△ACP∽△PGD,∴AC:CP=PG:DG,∴15:t=
綜上所述:t=.
(4)方法一:當(dāng)AP平分∠CAB時,D′B最長,點(diǎn)CB上運(yùn)動時,D在D′B之間往返運(yùn)動.故點(diǎn)D運(yùn)動路徑的長=2BD′.
∵AP平分∠CAB,∴AC:CP=AB:PB,∴15:CP=25:(20-CP),解得:CP=7.5.∵DG∥AC,∴,設(shè)DG=3x,則BG=4x,BD=5x.∵△D′PG∽△PAG,∴D′G:PG=CP:AC=1:2,∴PG=6x,∴6x+4x=PB=20-7.5,解得:x=1.25.∴2 BD′=2×1.25×5=12.5.
方法二:P點(diǎn)是在CB上運(yùn)動的,而∠APD是直角,∴P可以看作是斜邊AB上以AD為直徑的圓O與線段CB的交點(diǎn),當(dāng)CB與⊙O相切的時候,此時的D是運(yùn)動到最遠(yuǎn)的時候.設(shè)半徑為OA=OP=r,則OB=25-r.∵OP∥AC,∴OP:AC=OB:AB,∴,r=,∴BD=25-=,∴運(yùn)動路程為2BD==12.5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了豐富學(xué)生的課外活動,某校決定購買100個籃球和a(a>10)副羽毛球拍.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):甲、乙兩個體育用品商店以同樣的價格出售同種品牌的籃球和羽毛球拍.已知每個籃球比每副羽毛球拍貴25元,兩個籃球與三副羽毛球拍的費(fèi)用正好相等.經(jīng)洽談,甲商店的優(yōu)惠方案是:每購買十個籃球,送一副羽毛球拍;乙商店的優(yōu)惠方案是:若購買籃球數(shù)超過80個,則購買羽毛球拍可打八折.
(1)設(shè)每個籃球x元,則每副羽毛球拍______元(用含x的代數(shù)表示);并求出每個籃球和每副羽毛球拍的價格分別是多少?
(2)請用含a的代數(shù)式分別表示出到甲商店和乙商店購買所花的費(fèi)用;
(3)請你決策:在哪一家商店購買劃算?(直接寫出結(jié)論)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】裝修公司給小紅家的窗戶設(shè)計(jì)了如圖所示的裝修方案,上方布料窗眉(陰影部分)由兩個半徑相同的四分之一圓組成.
(1)分別用整式表示窗眉用布和窗戶透光的面積.(窗框的面積忽略不計(jì)).
(2)觀察(1)中的結(jié)果,它們是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式?次數(shù)分別是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l1:y=2x+1與直線l2:y=mx+4相交于點(diǎn)P(1,b).
(1)求b,m的值;
(2)垂直于x軸的直線與直線l1,l2,分別交于點(diǎn)C,D,垂足為點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a,0)若線段CD長為2,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某縣教育局為了豐富初中學(xué)生的大課間活動,要求各學(xué)校開展形式多樣的陽光體育活動.某中學(xué)就“學(xué)生體育活動興趣愛好”的問題,隨機(jī)調(diào)查了本校某班的學(xué)生,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖:
(1)在這次調(diào)查中,喜歡籃球項(xiàng)目的同學(xué)有多少人?
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“乒乓球”的百分比為多少?
(3)如果學(xué)校有800名學(xué)生,估計(jì)全校學(xué)生中有多少人喜歡籃球項(xiàng)目?
(4)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(5)在被調(diào)查的學(xué)生中,喜歡籃球的有2名女同學(xué),其余為男同學(xué).現(xiàn)要從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)代表班級參加;@球隊(duì),請運(yùn)用列表或樹狀圖求出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知C,D為線段AB上的兩點(diǎn),點(diǎn)M,N分別為AC與BD的中點(diǎn),若AB=13,CD=5,求線段MN的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場服裝部分為了解服裝的銷售情況,統(tǒng)計(jì)了每位營業(yè)員在某月的銷售額(單位:萬元),并根據(jù)統(tǒng)計(jì)的這組銷售額的數(shù)據(jù),繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②.請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
該商場服裝營業(yè)員的人數(shù)為 ,圖①中m的值為 ;
求統(tǒng)計(jì)的這組銷售額數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在建筑物AB上,掛著35 m長的宣傳條幅AE,從另一建筑物CD的頂部D處看條幅頂端A處,仰角為45°,看條幅底端E處,俯角為37°.求兩建筑物間的距離BC.
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.6,cos37°≈0.8, tan37°≈0.75)
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