Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中xoy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=

4

5

，CD與y軸交于點(diǎn)E，且S_△COE=S_△ADE
（1）求線段BC的長(zhǎng)；
（2）求經(jīng)過C、E、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）延長(zhǎng)AB，交拋物線于點(diǎn)F，點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在使以P、B、F為三點(diǎn)的三角形與△ACO相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先在Rt△AOB中，利用正弦函數(shù)的定義求出AB=10，再利用勾股定理得到OB=6，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BC=2OB=12；
（2）過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M．先由S_△COE=S_△ADE得出S_△CDB=S_△AOB=24，DM=4，再由△MBD∽△OBA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出BM=3，進(jìn)而得出D（3，-4）．再運(yùn)用待定系數(shù)法求出經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線為y=-

4

9

x-

8

3

，求出E（0，-

8

3

），設(shè)經(jīng)過C、E、B三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²+c，將E（0，-

8

3

）、C（-6，0）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出；
（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線為y=

4

3

x-8，再將y=

4

3

x-8代入y=

2

27

x²-

8

3

，得x²-18x+72=0，解方程求出x的值，得到F（12，8）．由于
點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，所以分點(diǎn)P在x軸上和若點(diǎn)P在y軸上兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，
∴sin∠ABO=

OA

AB

=

8

AB

=

4

5

，
∴AB=

5×8

4

=10，
∴OB=

102-82

=6．
∵AB=AC，OA⊥BC，
∴BC=2OB=12；

（2）如右圖，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M．
由S_△COE=S_△ADE得，S_△CDB=S_△AOB=

1

2

×6×8=24．
∴DM=

2×24

12

=4．
∵M(jìn)D∥OA，
∴△MBD∽△OBA，
∴

MB

OB

=

DM

AO

=

1

2

，
∴BM=

1

2

×6=3，
∴OM=6-3=3，
∴D（3，-4）．
設(shè)經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線函數(shù)解析式為y=kx+b，
將C（-6，0），D（3，-4）代入，
得

0=-6k+b -4=3k+b

，解得

k=- 4 9 b=- 8 3

，
所以該直線函數(shù)解析式為y=-

4

9

x-

8

3

．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-

8

3

，
∴E（0，-

8

3

）．
設(shè)經(jīng)過C、E、B三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²+c．
將E（0，-

8

3

）、C（-6，0）代入得

c=- 8 3 36a+c=0

，解得

a= 2 27 c=- 8 3

，
∴y=

2

27

x²-

8

3

；

（3）設(shè)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線函數(shù)解析式為y=mx+n，
將B（6，0），A（0，-8）代入，
得

0=6m+n -8=n

，解得

m= 4 3 n=-8

，
∴y=

4

3

x-8．
將y=

4

3

x-8代入y=

2

27

x²-

8

3

，
化簡(jiǎn)整理得，x²-18x+72=0，
解得x₁=6，x₂=12．
當(dāng)x=12時(shí)，y=8，
∴F（12，8）．
直角△AOC中，∠AOC=90°，OA=8，OC=6，AC=10．
△BPF中，BF=

(12-6)2+82

=10．
若點(diǎn)P在x軸上，
①如圖1，過點(diǎn)F作FP₁⊥x軸于點(diǎn)P₁，則△P₁BF≌△OCA，此時(shí)P₁（12，0）；

②如圖2，過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，F(xiàn)P₂⊥BF交x軸于點(diǎn)P₂，則△NBF≌△OCA，△NBF∽△FBP₂，所以△OCA∽△FBP₂．

∵FN=8，BN=6，
∴P₂N=

FN2

BN

=

64

6

=

32

3

，
∴OP₂=ON+P₂N=12+

32

3

=

68

3

，
∴P₂（

68

3

，0）；
若點(diǎn)P在y軸上，
③如圖3，延長(zhǎng)P₂F交y軸于點(diǎn)P．
由②知，N不是OP₂中點(diǎn)，故點(diǎn)F也不是P₂P中點(diǎn)，故∠BPF與∠BP₂F不相等，因此，該P(yáng)點(diǎn)不存在；


④如圖4，過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BP₃⊥AF交y軸于點(diǎn)P₃，

∵AB=BF=10，BP₃⊥AF，
∴FP₃=AP₃，
∴∠P₃AB=∠P₃FB，
∵∠P₃AB=∠P₃AC，
∴∠P₃FB=∠P₃AC．
在△FBP₃與△AOC中，

∠P3FB=∠CAO ∠P3BF=∠COA=90°

，
∴△FBP₃∽△AOC．
∵P₃O=

OB2

OA

=

36

8

=

9

2

，
∴P₃（0，

9

2

）．
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為P₁（12，0），P₂（

68

3

，0），P₃（0，

9

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．