Question

如圖，已知AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連接OP，弦CB∥OP，直線PB交直線AC于點(diǎn)D．
（1）證明：直線PB是⊙O的切線；
（2）若BD=2PA，OA=3，PA=4，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OB．利用SAS證明△POB≌△POA，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出∠PBO=∠PAO=90°，即直線PB是⊙O的切線；
（2）根據(jù)△POB≌△POA得出PB=PA，由已知條件“BD=2PA”、等量代換可以求得BD=2PB；然后由相似三角形（△DBC∽△DPO）的對(duì)應(yīng)邊成比例可以求得BC=

2

3

PO，然后由勾股定理求出PO即可．

解答：（1）證明：連接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．
又　OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠POB=∠POA．
在△POB與△POA中，

OB=OA ∠POB=∠POA PO=PO

，
∴△POB≌△POA（SAS），
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切線；

（2）解：∵△POB≌△POA，
∴PB=PA．
∵BD=2PA，
∴BD=2PB．
∵BC∥OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴

BC

PO

=

BD

PD

=

2

3

，
∴BC=

2

3

PO=

2

3

32+42

=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理．