Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)M、N分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB方向移動(dòng)，作∠PDQ=90°，點(diǎn)Q在AC上，設(shè)AP=x，CQ=y．
（1）證明：△PDM∽△QDN；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍；
（3）問(wèn)x為何值時(shí)，△CDQ是等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)已知和中位線的性質(zhì)得出∠DMP=∠DNQ=∠MDN=90°，再根據(jù)∠PDQ=90°，得出∠PDM=∠QDN，最后根據(jù)AA得出△PDM∽△QDN；
（2）根據(jù)（1）得出

PM

QN

=

DM

DN

=

4

3

，求出QN=

3

4

PM，分別進(jìn)行討論若點(diǎn)P在AM上，則點(diǎn)Q在CN上和若點(diǎn)P在MB上，則點(diǎn)Q在NA上，用x表示出PM和QN，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，求出CQ=8，從而得出x的取值范圍；      
（3）根據(jù)點(diǎn)D為Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，得出DA=DC=5，由（2）知，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△CDQ是等腰三角形，求出x的值；當(dāng)CQ=CD=5，QN=CQ-CN=1，求出x的值；若CQ=DQ，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥DC，得出CH=

5

2

，cos∠C=

CH

CQ

，在Rt△ABC中，求出cos=∠C的值，從而求出x的值即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)M、N分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，
∴DM，DN是中位線，
∵∠A=90°，
∴∠DMP=∠DNQ=∠MDN=90°，
∵∠PDQ=90°，
∴∠PDM=90°-∠PDN，∠QDN=90-∠PDN，
∴∠PDM=∠QDN，
∴△PDM∽△QDN；              

（2）∵AB=6，AC=8，
∴DM=4，DN=3，
∵△PDM∽△QDN，
∴

PM

QN

=

DM

DN

=

4

3

，
∴QN=

3

4

PM，
若點(diǎn)P在AM上，則點(diǎn)Q在CN上，PM=3-x，QN=

3

4

（3-x），y=CQ=CN-QN=4-

3

4

（3-x）=

7

4

+

3

4

x，
若點(diǎn)P在MB上，則點(diǎn)Q在NA上，PM=x-3，QN=

3

4

（x-3），y=CQ=CN+QN=4+

3

4

（x-3）=

7

4

+

3

4

x，
∴所求的函數(shù)關(guān)系式是y=

3

4

x+

7

4

，
當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，即CQ=8，此時(shí)，

3

4

x+

7

4

=8，
解得：x=

25

3

，
∴x的取值范圍是0≤x≤

25

3

；      

（3）∵點(diǎn)D為Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，
∴DA=DC=5，
由（2）可知，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△CDQ是等腰三角形，此時(shí)，x=

25

3

，
若CQ=CD=5，QN=CQ-CN=1，此時(shí)PM=

4

3

QN=

4

3

，
x=AP=3+

4

3

=

13

3

，
若CQ=DQ，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥DC，則CE=

5

2

，cos∠C=

CE

CQ

，
在Rt△ABC中，cos∠C=

AC

BC

=

4

5

，
∴

CE

CQ

=

4

5

，CQ=

5

4

CE=

25

8

，
∴

3

4

x+

7

4

=

25

8

，
解得：x=

11

6

．
綜上所述：當(dāng)x=

25

3

或

13

3

或

11

6

時(shí)，△CDQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解答．