Question

【題目】如圖，是以為直徑的的切線，為切點，平分，弦交于點，．

（1）求證：是等腰直角三角形；

（2）求證：；

（3）求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）由切線的性質(zhì)和圓周角定理可得∠ACB=∠ABM=90°，由角平分線的性質(zhì)可得∠CAB=∠CBA=45°；
（2）通過證明△EDO∽△ODC，可得，即可得結(jié)論；

（3）連接BD，AD，DO，作∠BAF=∠DBA，交BD于點F，由外角的性質(zhì)可得∠CAB=∠CDB=45°=∠EDO+∠ODB=3∠ODB，可求∠ODB=15°=∠OBD，由直角三角形的性質(zhì)可得BD=DF+BF=

AD+2AD，即可求tan∠ACD的值．

證明：（1）∵是以為直徑的的切線，

∴，

∵平分，

∴

∵是直徑

∴，

∴

∴

∴是等腰直角三角形；

（2）如圖，連接

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴

（2）如圖，連接，作，交于點，

∵

∴，

∴，

∵，

∴

∵

∴

∵是直徑

∴

∴

∴

∴