Question

【題目】綜合與探究

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點在軸上，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點，并與線段交于點，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點，交軸于點．已知．

（1）求點的坐標(biāo)及反比例函數(shù)（）的表達(dá)式；

（2）直接寫出點的坐標(biāo) ；

（3）如圖2，點是軸正半軸上的一個動點，過點作軸的垂線，分別交反比例函數(shù)（）與反比例函數(shù)（）的圖象于點，設(shè)點的坐標(biāo)為

①當(dāng)時，求的值；

②在點運動過程中，是否存在某一時刻，使？若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（4，4）；（x>0）；（2）E（-3，）；（3）①m=5；②存在，P點坐標(biāo)為（0，4+）或（0，4-）.

【解析】

（1）把A（-1，a）代入，可求出a的值，即可得A點坐標(biāo)，根據(jù)B點坐標(biāo)，利用勾股定理可求出AB的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AB=AD，即可得D點坐標(biāo)，把D點坐標(biāo)代入（x>0），即可求出k值，即可得答案；（2）根據(jù)A、B坐標(biāo)可得直線AB的解析式，聯(lián)立即可求出E點坐標(biāo)；（3）①由MN//x軸，P（0，m），可得M、N的坐標(biāo)為M（，m），N（，m），根據(jù)MN=OB列方程即可求出m的值；②根據(jù)坐標(biāo)可求出AE的長，即可得AP的長，由AG=1，利用勾股定理即可求出PG的長，即可得答案.

(1)過A作AQ⊥x軸于Q，

∵A在反比例函數(shù)上，

∴a==4，

∴A點坐標(biāo)為（-1，4），

又∵B（-4，0），

∴BQ=3，

∴AB==5，

又∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=AD=5，

∴D（4，4），

又∵D在反比例函數(shù)（x>0）上，

∴k=4×4=16，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,代入A、B坐標(biāo)得：，

解得，

∴直線AB的解析式為y=x+，

聯(lián)立反比例函數(shù)y=得，

解得：，（舍去）

∴E點坐標(biāo)為（-3，），

（3）①∵B（-4，0）

∴OB=4，

∵MN//x軸，P（0，m），

∴M（，m），N（，m）

∴

∵MN=OB

∴MN==4

∴m=5

②∵A（-1，4），E（-3，），

∴AE==，

∴AP=AE=，

∵G（0，4），

∴AG=1，

∴PG====，

∴m=4+或m=4-，

∴存在某一時刻，使，P點坐標(biāo)為（0，4+）或（0，4-）.