Question

12．如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E．
（1）求證：∠CAD=∠ECB；
（2）點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，連結(jié)DF，求證：BD²=FC•BE．

Answer 1

分析 （1）由三線合一定理可證得∠BAD=∠CAD，由CE⊥AB，得到∠ECB=∠BAD，由等量代換可得結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD，∠B=∠ACD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線定理證得FD=FC，BD=ED，于是有∠B=∠BED=∠ACD=∠CDF，從而證得△BDE∽△CFD，由相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB=∠BAD=90°-∠B，
∴∠CAD=∠ECB；

（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠B=∠ACD，
∵CE⊥AB，
∴BD=FD，
∵F是AC的中點(diǎn)，
∴FD=FC，
∴∠B=∠BED，
∴∠B=∠BED=∠ACD=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{FC}$，
∴BD•CD=BE•FC，
∴BD²=FC•BE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，能證得△BDE∽△CFD是解決問題的關(guān)鍵．