【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,AD與過點C的切線垂直,垂足為點D,直線DCAB的延長線相交于點P,弦CE平分∠ACB,交ABF,連接BE

(1)求證:AC平分∠DAB;

(2)求證:PCPF;

(3)tanABCAB14,求線段PC的長.

【答案】(1)(2)證明見解析;(3)24.

【解析】

(1)由PD切⊙O于點C,AD與過點C的切線垂直,易證得OC∥AD,繼而證得AC平分∠DAB;
(2)由條件可得∠CAO=PCB,結(jié)合條件可得∠PCF=∠PFC,即可證得PC=PF;
(3)易證△PAC∽△PCB,由相似三角形的性質(zhì)可得到 ,又因為tan∠ABC= ,所以可得=,進而可得到=,設PC=4k,PB=3k,則在Rt△POC中,利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2,進而可建立關于k的方程,解方程求出k的值即可求出PC的長.

(1)證明:∵PD切⊙O于點C,

∴OC⊥PD,

又∵AD⊥PD,

∴OC∥AD,

∴∠ACO=∠DAC.

∵OC=OA,

∴∠ACO=∠CAO,

∴∠DAC=∠CAO,

即AC平分∠DAB;

(2)證明:∵AD⊥PD,

∴∠DAC+∠ACD=90°.

又∵AB為⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°.

∴∠PCB+∠ACD=90°,

∴∠DAC=∠PCB.

又∵∠DAC=∠CAO,

∴∠CAO=∠PCB.

∵CE平分∠ACB,

∴∠ACF=∠BCF,

∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,

∴∠PFC=∠PCF,

∴PC=PF;

(3)解:∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,

∴△PAC∽△PCB,

又∵tan∠ABC=,

,

設PC=4k,PB=3k,則在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,

∵PC2+OC2=OP2

∴(4k)2+72=(3k+7)2,

∴k=6 (k=0不合題意,舍去).

∴PC=4k=4×6=24.

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