【題目】材料:帕普斯借助函數(shù)給出了一種三等分銳角的方法,具體如下:

①建立平面直角坐標系,將已知銳角∠AOB的頂點與原點O重合,角的一邊OBx軸正方向重合;

②在平面直角坐標系里,繪制函數(shù)y的圖象,圖象與已知角的另一邊OA交于點P;

③以P為圓心,2OP為半徑作弧,交函數(shù)y的圖象于點R;

④分別過點PRx軸和y軸的平行線,兩線相交于點MQ;

⑤連接OM,得到∠MOB,這時∠MOBAOB

根據(jù)以上材料解答下列問題:

1)設點P的坐標為(a),點R的坐標為(b,),則點M的坐標為 ;

2)求證:點Q在直線OM上;

3)求證:∠MOBAOB;

4)應用上述方法得到的結(jié)論,如何三等分一個鈍角(用文字簡要說明).

【答案】1(b,);(2)見詳解;(3)見詳解;(4)見詳解.

【解析】

1)根據(jù)點P和點R的坐標,直接求出點M的坐標,即可;

2)先用待定系數(shù)法,求出直線OM的解析式,再求出點Q的坐標,進而即可得到結(jié)論;

3)根據(jù)矩形的性質(zhì),得∠SQR=SRQ,由作圖過程中的條件,得PS=OP,由三角形外角的性質(zhì)定理,結(jié)合點Q在直線OM上,可得∠PSO=2SQR,進而即可得證;
4)既然能作出銳角的三等分角,先將鈍角的一半(銳角)三等分,再作鈍角的三等分角,即可.

1)∵點P的坐標為(a,),點R的坐標為(b,),分別過點PRx軸和y軸的平行線,兩線相交于點M、Q,

M(b,).

故答案是:(b,);

2)設直線OM的解析式為:y=kx

M(b,)代入y=kx,得=kb,解得:k=

y=x,

由第(1)小題,可知:Q(a,)

=a成立,

∴點Q在直線OM上;

3)∵四邊形PQRM是矩形,

SP=SQ=SR=SM=PR,

∠SQR=∠SRQ,

PR=2OP,

PS=OP=PR,

∠POS=∠PSO,

∵點Q在直線OM上,∠PSQ是△SQR的一個外角,

∠PSO=2∠SQR,

∠POS=2∠SQR,

QROB,

∠MOB=∠SQR,

∠POS=2∠MOB,

∴∠MOBAOB

4)先作出鈍角的一半,按照上述方法先將此鈍角的一半(銳角)三等分,再作一個角與已作得的角相等,進而即可得到鈍角的三等分角.

練習冊系列答案
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=900,點A、C的坐標分別為A(-2,0),C(1,0),tanBAC=.

(1)求點B的坐標。

(2)在x軸上找一點D,連接DB,使得△BCD與△ABC相似(不包括全等),并求點D的坐標。

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1)求這個函數(shù)的解析式.

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【題目】如圖,二次函數(shù)y=-x2+ax+b的圖象與x軸交于A(-,0),B(2,0)兩點,且與y軸交于點C

(1)求該拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;

(2)設P是x軸上方的拋物線上的動點,過點P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點P,使得以P、A 、M為頂點的三角形與ABC相似?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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【題目】為迎接中國森博會,某商家計劃從廠家采購A,B兩種產(chǎn)品共20件,產(chǎn)品的采購單價(元/件)是采購數(shù)量(件)的一次函數(shù),下表提供了部分采購數(shù)據(jù).

采購數(shù)量(件)

1

2

A產(chǎn)品單價(元/件)

1480

1460

B產(chǎn)品單價(元/件)

1290

1280

1)設A產(chǎn)品的采購數(shù)量為x(件),采購單價為y1(元/件),求y1x的關系式;

2)經(jīng)商家與廠家協(xié)商,采購A產(chǎn)品的數(shù)量不少于B產(chǎn)品數(shù)量的,且A產(chǎn)品采購單價不低于1200元,求該商家共有幾種進貨方案;

3)該商家分別以1760/件和1700/件的銷售單價售出A,B兩種產(chǎn)品,且全部售完,在(2)的條件下,求采購A種產(chǎn)品多少件時總利潤最大,并求最大利潤.

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【題目】已知關于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0,其中a、b、c分別為三邊的長.

(1)如果是方程的根,試判斷的形狀,并說明理由.

(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根,試判斷的形狀,并說明理由.

(3)如果是等邊三角形,試求這個一元二次方程的根.

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【題目】麗商場銷售A、B兩種商品,售出1件A種商品和4件B種商品所得利潤為600元;售出3件A種商品和5件B種商品所得利潤為1100元.

(1)求每件A種商品和每件B種商品售出后所得利潤分別為多少元?

(2)由于需求量大,A、B兩種商品很快售完,威麗商場決定再一次購進A、B兩種商品共34件,如果將這34件商品全部售完后所得利潤不低于4000元,那么麗商場至少需購進多少件A種商品?

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【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB=90°,AO是△ABC的角平分線.以O為圓心,OC為半徑作⊙O.

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(2)已知AO交⊙O于點E,延長AO交⊙O于點D,tanD=,求的值.

(3)(3分)在(2)的條件下,設⊙O的半徑為3,求AB的長.

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