【題目】如圖,二次函數(shù)y=-x2+ax+b的圖象與x軸交于A(-,0),B(2,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C

(1)求該拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;

(2)設(shè)P是x軸上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以P、A M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)P(,1 ) (0,1).

【解析】試題分析:

(1)由已知條件可設(shè)二次函數(shù)的解析式為: ,化簡(jiǎn)整理為一般形式即可;由所得解析式可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),再由勾股定理求得AC2、BC2、AB2,最后由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形;

(2)由(1)可知∠ACB=90°,PM⊥x軸可得∠PMA=90°,即∠ACB=∠PMA=90°,

因此當(dāng)時(shí),以點(diǎn)P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似;設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),分以上兩種情況討論、計(jì)算即可.

試題解析

(1)二次函數(shù)的圖象與軸交于A,B兩點(diǎn),

拋物線的解析式為, ;
點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,1);
AC2=AO2+CO2=,

BC2= BO2+CO2=5

AB2=
AC2+BC2=AB2,

∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°;

(2)如圖,∵PM⊥x軸,

∴∠PMA=90°,

∵∠ACB=90°,

∠ACB=∠PMA.

所以當(dāng): 時(shí),以點(diǎn)P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,

由點(diǎn)P在二次函數(shù)的圖象上,可設(shè)其坐標(biāo)為 ,

則由已知可得PM=,AM= 由此可得:

,

解得: (不合題意,舍去)或(不合題意,舍去),

存在點(diǎn)P使以點(diǎn)P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,其坐標(biāo)分別為: .

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2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC上時(shí).

①求點(diǎn)E的坐標(biāo);

②在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△PEC為等腰三角形?若存在,寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;

③如圖3,點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)B,點(diǎn)C除外),過(guò)點(diǎn)MMGBE于點(diǎn)G,MHCE于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí),MHMG的值是否發(fā)生變化?若不會(huì)變化,直接寫(xiě)出MHMG的值;若會(huì)變化,簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

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③以P為圓心,2OP為半徑作弧,交函數(shù)y的圖象于點(diǎn)R

④分別過(guò)點(diǎn)PRx軸和y軸的平行線,兩線相交于點(diǎn)M、Q

⑤連接OM,得到∠MOB,這時(shí)∠MOBAOB

根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題:

1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,),點(diǎn)R的坐標(biāo)為(b),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ;

2)求證:點(diǎn)Q在直線OM上;

3)求證:∠MOBAOB

4)應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論,如何三等分一個(gè)鈍角(用文字簡(jiǎn)要說(shuō)明).

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(1)求此拋物線的解析式;

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(3)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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