【題目】如圖,A(0,4)是直角坐標系y軸上一點,動點P從原點O出發(fā),沿x軸正半軸運動,速度為每秒1個單位長度,以P為直角頂點在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB.設P點的運動時間為t秒.
(1)若AB∥x軸,如圖1,求t的值;
(2)設點A關(guān)于x軸的對稱點為A′,連接A′B,在點P運動的過程中,∠OA′B的度數(shù)是否會發(fā)生變化,若不變,請求出∠OA′B的度數(shù),若改變,請說明理由.
(3)如圖2,當t=3時,坐標平面內(nèi)有一點M(不與A重合)使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等,請直接寫出點M的坐標.
【答案】(1)4;(2)∠OA′B的度數(shù)不變,∠OA′B=,理由見解析;(3)點M的坐標為(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1)
【解析】
(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì),可證明△AOP為等腰直角三角形,從而求得答案;
(2)根據(jù)對稱的性質(zhì)得:PA=PA'=PB,由∠PAB+∠PBA=90°,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求得∠OA'B=45°;
(3)分類討論:分別討論當△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB時,點M的坐標的情況;過點M作x軸的垂線、過點B作y軸的垂線,利用等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)求得點M的坐標即可.
(1)∵AB∥x軸,△APB為等腰直角三角形,
∴∠PAB=∠PBA=∠APO=45°,
∴△AOP為等腰直角三角形,
∴OA=OP=4.
∴t=4÷1=4(秒),
故t的值為4.
(2)如圖2,∠OA′B的度數(shù)不變,∠OA′B=45°,
∵點A關(guān)于x軸的對稱點為A′,
∴PA=PA',
又AP=PB,
∴PA=PA'=PB,
∴∠PAA'=∠PA',∠PBA'=∠PA'B,
又∵∠PAB+∠PBA=90°,
∴∠PAA'+∠PA'A+∠PA'B+∠PBA'
=180
90°
=90°,
∴∠AA'B=45°,
即∠OA'B=45°;
(3)當t=3時,M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等,
①如圖3,若△ABP≌△MBP,
則AP=PM,過點M作MD⊥OP于點D,
∵∠AOP=∠PDM,∠APO=∠DPM,
∴△AOP≌△MDP(AAS),
∴OA=DM=4,OP=PD=3,
∴M的坐標為:(6,-4).
②如圖4,若△ABP≌△MPB,則,
過點M作M⊥x軸于點,過點作⊥x軸于點,過點作⊥軸于點,
∵△APB為等腰直角三角形,則△MPB也為等腰直角三角形,
∴∠BAP=∠MPB=45,
∵,
∴
∴
∴
∵⊥x軸⊥軸
∴四邊形為矩形,
∴,則
在和中
∠BAF=45+,∠MPE=45+,
∴∠BAF=∠MPE
∵
∴
∴
∴M的坐標為:(4,7),
③如圖5,若△ABP≌△MPB,則,
過點M作M⊥x軸于點,過點作⊥x軸于點,過點作⊥軸于點,
∵△APB為等腰直角三角形,則△MPB也為等腰直角三角形,
∴∠BAP=∠MPB=45,
∵,
∴
∴
∴
∵⊥x軸⊥軸
∴四邊形為矩形,
∴,則
在和中
∵⊥軸
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴M的坐標為:(10,﹣1).
綜合以上可得點M的坐標為:(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1).
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【題目】拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過A(4,4),B(2,m)兩點,點B到拋物線對稱軸的距離記為d,滿足0<d≤1,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A. m≤2或m≥3 B. m≤3或m≥4 C. 2<m<3 D. 3<m<4
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【題目】如圖,△ABC的高為AD.△A'B'C'的高為A'D',且A'D'=AD.現(xiàn)有①②③三個條件:
①∠B=∠B',∠C=∠C';
②∠B=∠B',AB=A'B';
③BC=B'C',AB=A'B'.
分別添加以上三個條件中的一個,如果能判定△ABC≌△A'B'C',寫出序號,并畫圖證明;如果不能判定△ABC≌△A'B'C',寫出序號,并畫出相應的反例圖形.
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【題目】現(xiàn)代科技的發(fā)展已經(jīng)進入到了5G時代,“5G”即第五代移動通信技術(shù)(英語:5th generation mobile networks或5th generation wireless systems、5th-Generation,簡稱5G或5G技術(shù))是最新一代蜂窩移動通信技術(shù),也是即4G(LTE-A、WiMax)、3G(UMTS、LTE)和2G(GSM)系統(tǒng)之后的延伸。中國信息通信科技集團有限公司工程師余少華院士說“同4G相比,5G的傳輸速率提高了10至100倍.”“從人人互聯(lián)、人物互聯(lián),到物物互聯(lián),再到人網(wǎng)物三者的結(jié)合,5G技術(shù)最終將構(gòu)建起萬物互聯(lián)的智能世界” 如果5G網(wǎng)絡峰值速率是4G網(wǎng)絡峰值速率的10倍,那么在峰值速率下傳輸1 000MB數(shù)據(jù),5G網(wǎng)絡比4G網(wǎng)絡快90秒,求這兩種網(wǎng)絡的峰值速率(MB/秒).
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【題目】A表示一個數(shù),若把數(shù)A寫成形如的形式,其中、、、、…都為整數(shù).則我們稱把數(shù)A寫成連分數(shù)形式.
例如:把2.8寫成連分數(shù)形式的過程如下:
2.8-2=0.8,,
1.25-1=0.25,,
4-4=0.
(1)把3.245寫成連分數(shù)形式不完整的過程如下:
3.245-3=0.245,,
4.082-4=0.082,,
12.250-12=0.25,,
4-4=0.
∴
則_____________;_____________;
(2)請把寫成連分數(shù)形式;
(3)有這樣一個問題:如圖是長為47,寬為10的長方形紙片.從中裁剪出正方形,若長方形紙片無剩余,則剪出的正方形最少是幾個?
小明認為這個問題和 “把一個數(shù)化為連分數(shù)形式” 有關(guān)聯(lián),并把化成連分數(shù)從而解決了問題.你可以參考小明的思路解決上述問題,請直接寫出“剪出的正方形最少”時,正方形的個數(shù).
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【題目】如圖的△ABC中,AB>AC>BC,且D為BC上一點,F(xiàn)打算在AB上找一點P,在AC上找一點Q,使得△APQ與以P、D、Q為頂點的三角形全等,以下是甲、乙兩人的作法:
甲:連接AD,作AD的中垂線分別交AB、AC于P點、Q點,則P、Q兩點即為所求;
乙:過D作與AC平行的直線交AB于P點,過D作與AB平行的直線交AC于Q點,則P、Q兩點即為所求;
對于甲、乙兩人的作法,下列判斷何者正確( 。?
A.兩人皆正確B.兩人皆錯誤C.甲正確,乙錯誤D.甲錯誤,乙正確
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【題目】數(shù)學課上,張老師舉了下面的例題:
例1 等腰三角形中,,求的度數(shù).(答案:)
例2 等腰三角形中,,求的度數(shù).(答案:或或)
張老師啟發(fā)同學們進行變式,小敏編了如下兩題:
變式1: 等腰三角形中,∠A=100°,求的度數(shù).
變式2: 等腰三角形中,∠A= 45° ,求的度數(shù).
(1)請你解答以上兩道變式題.
(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),的度數(shù)不同,得到的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形中,設,當只有一個度數(shù)時,請你探索的取值范圍.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c(c>0)的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,且OB=OC=3,頂點為M.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點P為線段BM上的一個動點,過點P作x軸的垂線PQ,垂足為Q,若OQ=m,四邊形ACPQ的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式,并寫出m的取值范圍;
(3)探索:線段BM上是否存在點N,使△NMC為等腰三角形?如果存在,求出點N的坐標;如果不存在,請說明理由.
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