Question

一直角三角形放置在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，直角頂點(diǎn)C剛好落在雙曲線y=

8

x

（x＞0）的一支上，兩直角邊分別與y軸、x軸交于A、B兩點(diǎn)．若CA=CB，則四邊形CAOB的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

專題：

分析：作CE垂直x軸于點(diǎn)E，AF⊥CE于點(diǎn)F，CM垂直于y軸于點(diǎn)M，AC交x軸于點(diǎn)N，求出△AFC≌△CEB得到AF=CE=2

2

，再運(yùn)用四邊形CAOB的面積=正方形MOEC的面積．

解答：解：作CE垂直x軸于點(diǎn)E，AF⊥CE于點(diǎn)F，CM垂直于y軸于點(diǎn)M，AC交x軸于點(diǎn)N，
∵∠NOA=∠NCB=90°，∠ANO=∠BNC，
∴△ANO∽△CNB，
∴∠NAO=∠NBC，
又∵AO∥CE，
∴∠NAO=∠ACF，
∴∠ACF=∠NBC也就是∠ACF=∠EBC
∵∠AFC=∠CEB=90°，AC=AB，
在△AFC和△CEB中，

∠AFC=∠CEB ∠ACF=∠EBC AC=BC

，
∴△AFC≌△CEB（AAS），
∴AF=CE，
∴雙曲線y=

8

x

在C點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，
∴x=

8

x

，
解得x=2

2

，
∴AF=CE=OE=2

2

，
又∵△MAC的面積=△AFC的面積=△CEB的面積，
∴四邊形CAOB的面積=正方形MOEC的面積=2

2

×2

2

=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)與反比例函數(shù)的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是把四邊形CAOB的面積轉(zhuǎn)化為正方形MOEC的面積．