【題目】問題:如圖(1),點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.

【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖(1)證明上述結(jié)論.

【類比引申】如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,B+D=180°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足  關(guān)系時(shí),仍有EF=BE+FD;請證明你的結(jié)論.

【探究應(yīng)用】如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,ADC=120°,BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F,且AEADDF=401米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長.(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73

【答案】【發(fā)現(xiàn)證明】證明見解析;【類比引申】∠BAD=2∠EAF;【探究應(yīng)用】1092米.

【解析】【發(fā)現(xiàn)證明】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADG≌△ABE,則GF=BE+DF,只要再證明△AFG≌△AFE即可.

【類比引申】延長CB至M,使BM=DF,連接AM,證△ADF≌△ABM,證△FAE≌△MAE,即可得出答案;

【探究應(yīng)用】利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得到△ABE是等邊三角形,則BE=AB=80.把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADG≌△ABE,則GF=BE+DF,只要再證明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD.

解:如圖(1),

∵△ADG≌△ABE,

∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,

又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°,

∴∠GAF=∠FAE,

在△GAF和△FAE中,

AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,

∴△AFG≌△AFE(SAS).

∴GF=EF.

又∵DG=BE,

∴GF=BE+DF,

∴BE+DF=EF.

【類比引申】∠BAD=2∠EAF.

理由如下:如圖(2),延長CB至M,使BM=DF,連接AM,

∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,

∴∠D=∠ABM,

在△ABM和△ADF中,

AB=AD,∠ABM=∠D,BM=DF,

∴△ABM≌△ADF(SAS),

∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,

∵∠BAD=2∠EAF,

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,

在△FAE和△MAE中,

AE=AE,∠FAE=∠MAE,AF=AM,

∴△FAE≌△MAE(SAS),

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF,

即EF=BE+DF.

故答案是:∠BAD=2∠EAF.

【探究應(yīng)用】如圖3,把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG,連接AF.

∵∠BAD=150°,∠DAE=90°,

∴∠BAE=60°.

又∵∠B=60°,

∴△ABE是等邊三角形,

∴BE=AB=80

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到:∠ADG=∠B=60°,

又∵∠ADF=120°,

∴∠GDF=180°,即點(diǎn)G在CD的延長線上.

易得,△ADG≌△ABE,

∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,

又∵∠EAG=∠BAD=150°,

∴∠GAF=∠FAE,

在△GAF和△FAE中,

AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,

∴△AFG≌△AFE(SAS).

∴GF=EF.

又∵DG=BE,

∴GF=BE+DF,

∴EF=BE+DF=80+40(﹣1)≈109.2(米),即這條道路EF的長約為109.2

“點(diǎn)睛”此題主要考查了四邊形綜合題,關(guān)鍵是正確畫出圖形,證明△AFG≌△AEF.此題是一道綜合題,難度較大,題目所給例題的思路,為解決此題做了較好的鋪墊.

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