Question

【題目】如圖①在中，若點(diǎn)在邊上，且則點(diǎn)定義為的邊上的“金點(diǎn)”．

已知點(diǎn)是的邊上的“金點(diǎn)”:

①若則的長(zhǎng)為 _；

②若則的長(zhǎng)為 _；

在圖①中，若點(diǎn)是的邊的中點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是不是的“金

點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；

如圖②，已知點(diǎn)為同一直線上三點(diǎn)，且在所在直線上是否存在一點(diǎn)使點(diǎn)中的某一點(diǎn)是其余三點(diǎn)圍成的三角形的“金點(diǎn)”．若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①或； ②；（2）點(diǎn)是的“金點(diǎn)”，理由見解析；（3）存在，滿足條件的長(zhǎng)為或．

【解析】

（1）①分兩種情形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．②利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．

（2）結(jié)論：點(diǎn)D是△ABC的“金點(diǎn)”．只要證明△ACD∽△ABC即可解決問(wèn)題；

（3）如圖③中，存在．有三種情形：過(guò)點(diǎn)A作MA⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于M，作MH⊥y軸于H．構(gòu)造全等三角形，利用平行線分線段成比例定理構(gòu)建方程求出點(diǎn)C坐標(biāo)，分三種情形求解即可解決問(wèn)題；

（1）若如圖：

∵

∴．

∴

∴

∴

若如圖：

∵

∴

∴

∴

∴

∴；

如圖所示：

∵點(diǎn)是的“金點(diǎn)”，

∴或

當(dāng)時(shí)，

∵

∴

∴；

當(dāng)時(shí)，

同理可證．

在中，由勾股定理得，

∵

∴

故答案為：①或； ②；

（2）點(diǎn)是的“金點(diǎn)”，

理由如下:

∵點(diǎn)是的邊的中點(diǎn)，

∴

又∵

∴

∴

又

∴

所以點(diǎn)是的“金點(diǎn)”；

故答案為：點(diǎn)是的“金點(diǎn)”，理由見解析．

（3）存在．

有三種情形:

如圖所示：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

∵，，

∴

∴

∵，

∴

∴

∴．

設(shè)

∵

∴

∵

∵．

∴

∴

解得或(舍去)，

∴

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的“金點(diǎn)”設(shè)

∵，

∴

∴，即．

∴，

解得

∴．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的“金點(diǎn)”

易知，

∴．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的“金點(diǎn)”

易知，

∴．

綜上所述，滿足條件的長(zhǎng)為或．

故答案為：存在，OD長(zhǎng)為42或6