Question

【題目】如圖，在中，，，

（1）圖1中共有_______對(duì)相似三角形；

（2）已知，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；

（3）在（2）的情況下，如果以為軸，為軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)出點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BA運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)即刻同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；（2）4.8；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.35，3）或（3.15，1.8）．

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形性質(zhì)和相似三角形判定可得結(jié)果；（2）根據(jù)勾股定理和三角形面積公式可得；（3）分類討論：①當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，如圖2①，此時(shí)△PQB∽△ACB；②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，如圖2②，此時(shí)△QPB∽△ACB；根據(jù)相似三角形性質(zhì)和勾股定理可得.

（1）根據(jù)已知可得：∠A=∠BCD, ∠B=∠ACD,故：圖1中共有3對(duì)相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．
故答案為3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；
（2）如圖1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC==6．
∵△ABC的面積=ABCD=ACBC，
∴CD==4.8；

（3）存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，
∴OB==3.6．
分兩種情況：
①當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，如圖2①，此時(shí)△PQB∽△ACB，

解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，
∴OQ=OB-BQ=3.6-2.25=1.35，BP=BC-CP=6-2.25=3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ===3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.35，3）；

②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，如圖2②，此時(shí)△QPB∽△ACB，

∴

∴，
解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC-CP=6-3.75=2.25．
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E．
∵△QPB∽△ACB，
∴，即，
∴PE=1.8．
在△BPE中，BE==0.45，
∴OE=OB-BE=3.6-0.45=3.15，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3.15，1.8）；
綜上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.35，3）或（3.15，1.8）．