Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E

（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若OB＝2，CD＝，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）欲證明AC是⊙O的切線，只要證明OD⊥AC即可．

（2）證明△OBE是等邊三角形即可解決問題．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵BD為∠ABC平分線，

∴∠1＝∠2，

∵OB＝OD，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴OD∥BC，

∵∠C＝90°，

∴∠ODA＝90°，

∴OD⊥AC，

∴AC是⊙O的切線．

（2）過O作OG⊥BC，連接OE，則四邊形ODCG為矩形，

∴GC＝OD＝OB＝2，OG＝CD＝，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝1，

∴BE＝2，則△OBE是等邊三角形，

∴陰影部分面積為﹣×2×＝．