Question

11．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)．過點(diǎn)A做AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：△AEF≌△DEB；
（2）證明四邊形ADCF是菱形；
（3）若AC=3，AB=4，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE；
（2）利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AF=BD．證出四邊形ADCF是平行四邊形，再由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出結(jié)論；
（3）由直角三角形ABC與菱形有相同的高，根據(jù)等積變形求出這個(gè)高，代入菱形面積公式可求出結(jié)論．

解答 （1）證明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AEF和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}&{\;}\\{∠FEA=∠BED}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四邊形ADCF是菱形；
（3）解：連接DF，如圖所示：
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DF=AB=4，
∵四邊形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面積=$\frac{1}{2}$AC?DF=$\frac{1}{2}$×3×4=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，菱形的面積計(jì)算；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．