Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，點D在AB的延長線上，∠BCD=∠BAC.

（1）求證：CD是⊙O的切線．

（2）若∠D=30°，BD=2，求⊙O的半徑

（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）連接OC,則得∠BAC=∠OCA，結(jié)合條件∠BCD=∠BAC證出∠OCD=90°,得OC⊥CD則可證切線；

（2）在Rt△OCD中，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得OD與半徑的關(guān)系，列方程求解；

（3）根據(jù)弓形面積等于扇形面積減去三角形的面積，分別用公式計算扇形和三角形的面積即可求解.

解：如圖，連接

（1）∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA,

∵∠BCD=∠BAC,

∴,

∵是直徑，

∴∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB,

∴，即.

∵是半徑，

∴CD是⊙O的切線.

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則,

∵，，

∴，，

由OB+BD=OD得，

解得，

∴⊙O的半徑為2.

（3）在中，∵∠BOC=60°，

∴是正三角形，

∵OB=OC=2

∴由勾股定理得.

∵O為中點，

∴.

∵，

∴，

所以，

所以.

故圖中陰影部分的面積為.