【題目】如圖,在△ABC中,ABAC5,CDAB于點D,CD3.點P從點A出發(fā)沿線段AC以每秒1個單位的速度向終點C運動.過點PPQABBC于點Q,過點PAC的垂線,過點QAC的平行線,兩線交于點E.設(shè)點P的運動時間為t秒.

1)求線段PQ的長.(用含t的代數(shù)式表示)

2)當點E落在邊AB上時,求t的值.

3)當△PQE與△ACD重疊部分圖形是四邊形時,直接寫出t的取值范圍.

【答案】1PQ5t;(2t;(30t≤1t5

【解析】

1)由題意得出PCACAP5t,由PQAB,得出△PQC∽△ABC,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得PQ5t

2)當點E落在邊AB上時,在中,求得AD4,cosCAD,在中,cosCAD,推出AE,由PQAB,EQAC,得出四邊形AEQP是平行四邊形,則PQAE,即5t,即可得出結(jié)果;

3)當點E、D、Q三點共線時,由PQAB,EQAC,得出四邊形ADQP是平行四邊形,則PQAD4,即5t4,得出t1,則當△PQE與△ACD重疊部分圖形是四邊形時,0t≤1;當點E落在邊AB上時,由(2)得t,AEPQAD,得出點P在到達點C前,點E始終在CD的左邊,即t5

1)∵ABAC5,點P從點A出發(fā)沿線段AC以每秒1個單位的速度向終點C運動,點P的運動時間為t秒,

PCACAP5t,

PQAB,

∴△PQC∽△ABC

即:

PQ5t;

2)當點E落在邊AB上時,如圖1所示:

RtACD中,∠ADC90°

AD,

cosCAD,

RtAPE中,∠APE90°,cosCAD,

,

AEAP,

PQAB,EQAC,

∴四邊形AEQP是平行四邊形,

PQAE,

即:5t,

解得:t;

3)當點E、D、Q三點共線時,如圖2所示:

PQAB,EQAC,

∴四邊形ADQP是平行四邊形,

PQAD4,

5t4

t1,

∴當△PQE與△ACD重疊部分圖形是四邊形時,0t≤1;

當點E落在邊AB上時,如圖1所示,

由(2)得:t,

AEPQ5AD,

∴點P在到達點C前,點E始終在CD的左邊,

AC5

t5,

t5,

綜上:當△PQE與△ACD重疊部分圖形是四邊形時,t的取值范圍為0t≤1t5

練習冊系列答案
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