【題目】如圖,△ABC中,點E、P在邊AB上,且AE=BP,過點E、P作BC的平行線,分別交AC于點F、Q,記△AEF的面積為S1 , 四邊形EFQP的面積為S2 , 四邊形PQCB的面積為S3 .
(1)求證:EF+PQ=BC;
(2)若S1+S3=S2 , 求的值;
(3)若S3﹣S1=S2 , 直接寫出的值.
【答案】
(1)
證明:∵EF∥BC,PQ∥BC,
∴,,
∵AE=BP,
∴AP=BE,
∴==1,
∴=1,
∴EF+PQ=BC;
(2)
解:過點A作AH⊥BC于H,分別交PQ于M、N,如圖所示:
設EF=a,PQ=b,AM=h,
則BC=a+b,
∵EF∥PQ,
∴△AEF∽△APQ,
∴=,
∴AN=,MN=(﹣1)h,
∴S1=ah,S2=(a+b)(﹣1)h,S3=(b+a+b)h,
∵S1+S3=S2,
∴ah+(a+b+b)h=(a+b)(﹣1)h,
解得:b=3a,
∴=3,
∴=2;
(3)
解:∵S3﹣S1=S2,
∴(a+b+b)h﹣ah=(a+b)(﹣1)h,
解得:b=(1±)a(負值舍去),
∴b=(1+)a,
∴=1+,
∴=.
【解析】(1)由平行線得出比例式,,證出AP=BE,得出=1,即可得出EF+PQ=BC;
(2)過點A作AH⊥BC于H,分別交PQ于M、N,設EF=a,PQ=b,AM=h,則BC=a+b,由平行線得出△AEF∽△APQ,得出=,得出AN=,MN=(﹣1)h,
由三角形的面積公式得出S1=ah,S2=(a+b)(﹣1)h,S3=(b+a+b)h,得出ah+(a+b+b)h=(a+b)(﹣1)h,求出b=3a,即可得出結(jié)果;(3)由題意得出(a+b+b)h﹣ah=(a+b)(﹣1)h,得出b=(1+)a,即可得出結(jié)果.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一個矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標系中,點A(11,0),點B(0,6),點P為BC邊上的動點(點P不與點B,C重合),經(jīng)過點O、P折疊該紙片,得點B′和折痕OP(如圖①)經(jīng)過點P再次折疊紙片,使點C落在直線PB′上,得點C′和折痕PQ(如圖②),當點C′恰好落在OA上時,點P的坐標是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD和矩形PEFG中,AB=8,BC=6,PE=2,PG=4.PE與AC交于點M,EF與AC交于點N,動點P從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動,伴隨點P的運動,矩形PEFG在射線AB上滑動;動點K從點P出發(fā)沿折線PE﹣﹣EF以每秒1個單位長的速度勻速運動.點P、K同時開始運動,當點K到達點F時停止運動,點P也隨之停止.設點P、K運動的時間是t秒(t>0).
(1)當t=1時,KE= , EN=;
(2)當t為何值時,△APM的面積與△MNE的面積相等?
(3)當點K到達點N時,求出t的值;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將三角尺的直角頂點放在直線a上,a//b,∠1=50°,∠2=60°,則∠3的度數(shù)為( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班師生組織植樹活動,上午8時從學校出發(fā),到植樹地點后原路返校,如圖為師生離校路程s與時間t之間的圖象,請回答下列問題:
試寫出師生返校時的s與t的函數(shù)關系式,并求出師生何時回到學校;
如果師生騎自行車上午8時出發(fā),到植樹地點后,植樹需2小時,要求14時前返回到學校,往返平均速度分別為每時10km、8km,現(xiàn)有A、B、C、D四個植樹點與學校的路程分別是13km、15km、17km、19km,試通過計算說明哪幾個植樹點符合要求.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從圖所示的風箏中可以抽象出幾何圖形,我們把這種幾何圖形叫做“箏形”.
具體定義如下:如圖,在四邊形中, , ,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.
()結(jié)合圖,通過觀察、測量、折紙,可以猜想“箏形”具有諸如“平分和”這樣的性質(zhì),請結(jié)合圖形,再寫出兩條“箏形”的性質(zhì).
①____________________________.
②____________________________.
()從你寫出的兩條性質(zhì)中,任選一條“箏形”的性質(zhì)給出證明.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們知道,完全平方式可以用平面幾何圖形的面積來表示。實際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示,如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用圖(1)或圖(2)等圖形的面積表示。
(1)請寫出圖(3)所表示的代數(shù)恒等式: ;
(2)試畫一個幾何圖形,使它的面積表示:(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】操作與探究 探索:在如圖1至圖3中,△ABC的面積為a .
(1)如圖1, 延長△ABC的邊BC到點D,使CD=BC,連結(jié)DA.若△ACD的面積為S1,則S1=________(用含a的代數(shù)式表示);
(2)如圖2,延長△ABC的邊BC到點D,延長邊CA到點E,使CD=BC,AE=CA,連結(jié)DE.若△DEC的面積為S2,則S2= (用含a的代數(shù)式表示);
(3)在圖2的基礎上延長AB到點F,使BF=AB,連結(jié)FD,F(xiàn)E,得到△DEF(如圖3).若陰影部分的面積為S3,則S3=__________(用含a的代數(shù)式表示).
發(fā)現(xiàn):像上面那樣,將△ABC各邊均順次延長一倍,連結(jié)所得端點,得到△DEF(如圖3),此時,我們稱△ABC向外擴展了一次.可以發(fā)現(xiàn),擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的_____倍.
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