【題目】如圖，等邊三角形的邊長為，且其三個頂點均在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若過原點的直線與直線分別交拋物線于點、，

①當時，試求的面積；

②試證明：不論實數(shù)取何值，直線總是經過一定點．

【答案】（1）；（2）①20；②詳見解析

【解析】

（1）如圖，由題意可得OB=，∠ABO=60°，然后在Rt△BOF中，利用解直角三角形的知識求出BF和OF的長，進而可得點B坐標，然后代入拋物線的解析式即可求出結果；

（2）①先解方程組求出點C、D的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，然后即可求出直線與軸的交點，再根據(jù)計算即可；

②先解方程組求出點C、D的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，然后即可求出直線與軸的交點，進而可得結論．

解：（1）如圖，等邊△的邊長為，

∴OB=，∠ABO=60°，

則在Rt△BOF中，BF=4，，

，

又點在拋物線上，

，解得：，

故所求的解析式為；

（2）①解方程組，得，，∴，

解方程組，得，，∴，

設直線的解析式為，

，解得：，

所以直線的解析式為，

設直線與軸交于點，則，如圖，

∵，，

；

②解方程組，得，，∴，

解方程組，得，，∴，

設直線解析式為，

，解得：，

所以直線的解析式為，

所以不論實數(shù)取何值，直線總過定點．

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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，將正方形繞點逆時針旋轉后得到正方形，依此方式，繞點連續(xù)旋轉次得到正方，如果點的坐標為，那么的坐標為(　　)

A.B.C.D.

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A.個B.個C.個D.個

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（1）求證：；

（2）若，求⊙O的直徑．

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【題目】如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點A、D在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，點F在AB上，點B、E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為4，且BF＝2AF，則k值為_____．

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【題目】在一張矩形ABCD紙片中，AD=30,AB=25,先將這張紙片沿著過點A的直線折疊，使得點B落在矩形的對稱軸上，折痕交矩形的邊于點E，則折痕AE的長為_________.

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【題目】如圖，邊長為的正方形的邊在軸負半軸上，點在第三象限內，點的坐標為，經過點的拋物線交軸于點，其頂點為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若軸左側拋物線上一點關于軸的對稱點恰好落在直線上，求點的坐標；

（3）連接，，，請你探究在軸左側的拋物線上，是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

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