Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，cosA=

4

5

．
（1）求AC，AB的長度；
（2）在直線AC上是否存在點(diǎn)M，使得以線段BM為直徑的圓與邊AB交于P點(diǎn)（與點(diǎn)B不同），且以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出CM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)AC=4x，則AB=5x，根據(jù)勾股定理求得BC=3x，根據(jù)BC=3，求得x=1，從而求得AC、AB的長度；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠PCA，根據(jù)圓周角的性質(zhì)得出∠ACP=∠PBM，進(jìn)而得出∠A=∠ABM，得出三角形AMB是等腰三角形，由直徑所對的圓周角是直角得出MP⊥AB，從而求得AP=PB=

5

2

，然后根據(jù)三角形相似求得AM的長，進(jìn)而求得CM的長；

解答：解：（1）在△ABC中，∵∠C=90°，
∴cosA=

AC

AB

=

4

5

．
設(shè)AC=4x，則AB=5x，
由勾股定理，得BC=

AB2-AC2

=3x，
∵BC=3，∴3x=3，∴x=1，
∴AC=4x=4，AB=5x=5；

（2）存在；
如圖，∵△APC是等于三角形，
∴AP=PC，
∴∠A=∠PCA，
∵∠ACP=∠PBM，
∴∠A=∠ABM，
∴AM=BM，
∵BM是直徑，
∴MP⊥AB，
∴AP=PB=

1

2

AB=

5

2

，
∵∠APM=∠ACB=90°，∠PAM=∠CAB，
∴△APM∽△ACB，
∴AM：AB=AP：AC，
即

AM

5

=

5 2

4

，
∴AM=

25

8

，
∴CM=AC-AM=4-

25

8

=

7

8

；

點(diǎn)評：本題考查了直角三角函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握圓的應(yīng)該性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．