【題目】已知拋物線y=x2+kx+2k﹣4
(1)當(dāng)k=2時(shí),求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:無論k為任何實(shí)數(shù),拋物線都與x軸有交點(diǎn),且經(jīng)過x軸一定點(diǎn);
(3)已知拋物線與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn)(A在B的左邊),|x1|<|x2|,與y軸交于C點(diǎn),且S△ABC=15.問:過A,B,C三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個(gè)交點(diǎn)?試說明理由.如果有,求出其坐標(biāo).
【答案】(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,﹣1).(2)證明見解析;(3)(1,﹣6).
【解析】解:(1)當(dāng)=2時(shí),拋物線為=+,…………………………1分
配方: =+=++1-1
得=-1,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1);………………………………………………3分
(也可由頂點(diǎn)公式求得)
(2)令=0,有++-4=0,………………………………4分
此一元二次方程根的判別式
⊿=-4·(-4)=-+16=,…………………5分
∵無論為什么實(shí)數(shù), ≥0,
方程++-4=0都有解,…………………………………………6分
即拋物線總與軸有交點(diǎn).
由求根公式得=,………………………………………………7分
當(dāng)≥4時(shí), =,
1==-2, 2==-+2;
當(dāng)<4時(shí), =,
1==-+2, 2==-2.
即拋物線與軸的交點(diǎn)分別為(-2,0)和(-+2,0),
而點(diǎn)(-2,0)是軸上的定點(diǎn);…………………………………………8分
(3)過A,B,C三點(diǎn)的圓與該拋物線有第四個(gè)交點(diǎn).…………………9分
設(shè)此點(diǎn)為D.∵| 1|<| 2|,C點(diǎn)在y軸上,
由拋物線的對(duì)稱,可知點(diǎn)C不是拋物線的頂點(diǎn).……………………………10分
由于圓和拋物線都是軸對(duì)稱圖形,
過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形.……………………11分
∵軸上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,
∴過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線的第四個(gè)
交點(diǎn)D應(yīng)與C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱.……………………………………12分
由拋物線與軸的交點(diǎn)分別為(-2,0)和(-+2,0):
當(dāng)-2<-+2,即<4時(shí),…………………………13分
A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),B為(-+2,0).
即1=-2, 2=-+2.
由| 1|<| 2|得-+2>2,解得<0.
根據(jù)S△ABC=15,得AB·OC=15.
AB=-+2-(-2)=4-,
OC=|2-4|=4-2,
∴(4-)(4-2)=15,
化簡(jiǎn)整理得=0,
解得=7(舍去)或=-1.
此時(shí)拋物線解析式為=,
其對(duì)稱軸為=,C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-6),
它關(guān)于=的對(duì)稱點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,-6);………………………………14分
當(dāng)-2>-+2,由A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊,
知A點(diǎn)坐標(biāo)為(-+2,0),B為(-2,0).
即1=-+2, 2=-2.
但此時(shí)| 1|>| 2|,這與已知條件| 1|<| 2|不相符,
∴不存在此種情況.
故第四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-6).
(如圖6)
(1)把=2代入拋物線,通過配方可求得此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)
(2)令y=0,解方程++-4,即可求出拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo),定點(diǎn)為與k值無關(guān)的點(diǎn);
(3)過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線有第四個(gè)交點(diǎn)D,根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo),討論k的范圍,表示△ABC的面積,列方程求k,再根據(jù)對(duì)稱性求D點(diǎn)坐標(biāo)
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A.﹣1的相反數(shù)是1
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(2)將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到,畫出,若∠CAD=20°,求度數(shù);
(3)試畫出符合下列條件的正三角形:M為正三角形內(nèi)的一點(diǎn),M到正三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、,且正三角形的邊長(zhǎng)為++,并給予證明.
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A.47×102
B.4.7×103
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