【題目】如圖,已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓,OD∥BC,交⊙O于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接BD,BD交AC于點(diǎn)F,延長AC到點(diǎn)P,連接PB.

(1)若PF=PB,求證:PB是⊙O的切線;
(2)如果AB=10,BC=6,求CE的長度.

【答案】
(1)證明:∵PF=PB,

∴∠PFB=∠PBF,

又∵∠DFE=∠PFB,

∴∠DFE=∠PBF,

∵AB是圓的直徑,

∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.

又∵OD∥BC,

∴OD⊥AC.

∴在直角△DEF中,∠D+∠DFE=90°,

又∵OD=OB,

∴∠D=∠DBO,

∴∠DBO+∠PBE=90°,即PB⊥AB,

∴PB是⊙O的切線;


(2)解:∵OD∥BC,OA=OB,

∴OE= BC= ×6=3.

∵OD⊥AB,

∴EC=AE.

∵在直角△OAE中,OA= AB= ×10=5,

∴AE= = =4.

∴EC=4.


【解析】(1)根據(jù)等邊對等角以及對頂角相等可以證得∠DFE=∠PBF,∠D=∠DBO,然后根據(jù)圓周角定理證明△DEF是直角三角形,據(jù)此即可證得∠PBA=90°,從而證明PB是切線;(2)根據(jù)三角形的中位線定理求得OE的長,然后根據(jù)垂徑定理即可求解.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用切線的判定定理,掌握切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有人;
(2)請你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完成;
(3)在平時(shí)的乒乓球項(xiàng)目訓(xùn)練中,甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加乒乓球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹狀圖或列表法解答).

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(1)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,n),求點(diǎn)Q在第四象限的概率;
(2)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+mx+n=0,求該方程有實(shí)數(shù)根的概率.

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(2)在線段BD下方的拋物線上有一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM∥x軸,PN∥y軸,分別交BD于點(diǎn)M,N.當(dāng)△MPN的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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①在圖1中畫出圖形;
②在△OCP與△PDA的面積比為1:4不變的情況下,試問動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?請你說明理由.

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(1)A型自行車去年每輛售價(jià)多少元?
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