Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x﹣6與x軸交于點(diǎn)A（﹣6，0），B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線BD與拋物線交于點(diǎn)D，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)．

（1）連接CD，求拋物線的表達(dá)式和線段CD的長(zhǎng)度；
（2）在線段BD下方的拋物線上有一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM∥x軸，PN∥y軸，分別交BD于點(diǎn)M，N．當(dāng)△MPN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

36a﹣12﹣6=0．

解得a= ，

拋物線的解析式為y= x2+2x﹣6；

當(dāng)x=0時(shí)y=﹣6．即C（0，﹣6）．

當(dāng)y=﹣6時(shí)，﹣6= x2+2x﹣6，

解得x=0（舍），x=﹣4，即D（﹣4，﹣6）．

CD=0﹣（﹣4）=4，

線段CD的長(zhǎng)為4；

（2）

解：如圖

，

當(dāng)y=0時(shí)， x2+2x﹣6=0．解得x=﹣6（不符合題意，舍）或x=2．

即B（2，0）．

設(shè)BD的解析式為y=kx+b，將B、D點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得 ，

BD的解析式為y=x﹣2，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，即E（0，﹣2）．

OB=OE=2，∠BOE=90°

∠OBE=∠OEB=45°．

∵點(diǎn)P作PM∥x軸，PN∥y軸，

∴∠PMN=∠PNM=45°，∠NPM=90°．

∵N在BD上，設(shè)N（a，a﹣2）；P在拋物線上，設(shè)P（a， a2+2a﹣6）．

PN=a﹣2﹣（ a2+2a﹣6）=﹣ a2﹣a+4=﹣ （a+1）2+ ，

S= PN2= [﹣ （a+1）2+ ]2，

當(dāng)a=﹣1時(shí)，S最大= ×（ ）2= ，

a=﹣1， a2+2a﹣6=﹣ ，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣ ）．

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C、D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于x軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的小橫坐標(biāo)減較的橫坐標(biāo)，可得答案；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得BD的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠OBE=∠OEB=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠PMN=∠PNM=45°，根據(jù)直角三角形的判定，可得∠P，根據(jù)三角形的面積公式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得a的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．