【題目】如圖①,直線y=kx+2與坐標軸交于A、B兩點,OA=4,點C是x軸正半軸上的點,且OC=OB,過點C作AB的垂線,交y軸于點D,拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點.
(1)求拋物線函數(shù)關(guān)系式;
(2)如圖②,點P是射線BA上一動點(不與點B重合),連接OP,過點O作OP的垂線交直線CD于點Q.求證:OP=OQ;
(3)如圖③,在(2)的條件下,分別過P、Q兩點作x軸的垂線,分別交x軸于點E、F,交拋物線于點M、N,是否存在點P的位置,使以P、Q、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1) y=﹣x2﹣x+2; (2)見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系可得A、B點坐標,再根據(jù)OB=OC可得C點坐標,進而根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線解析式;(2)根據(jù)題意易得∠BAO=∠ODC,然后根據(jù)“ASA”證得△AOB≌△COD,進而可得OA=OD,∠OAD=∠ODQ,再根據(jù)∠POQ=∠AOD=90°得到∠AOP=∠DOQ,因此可證△AOP≌△DOQ,即可證OP=OQ;(3)設(shè)點P橫坐標為n,則點P坐標為(n, n+2),點M的坐標為(n, n2﹣n+2),通過證△OPE≌△OQF(AAS)確定Q,N的坐標,由題意可得PM∥QN,故當PM=QN時,以P、Q、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形,分P在M點上方以及P在M點下方兩種情況進行討論,根據(jù)PM=QN求出點P坐標即可.
解:(1)∵OA=4
∴點A(﹣4,0)
∵直線y=kx+2與坐標軸交于A、B兩點,
∴點B(0,2),0=﹣4k+2
∴OB=2,k=
∴直線解析式y=x+2
∵OC=OB=2
∴點C(2,0)
∵拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點.
∴ ,
解得:a=﹣,b=﹣,c=2
∴拋物線解析式:y=﹣x2﹣x+2;
(2)∵CD⊥AB
∴∠BAO+∠DCO=90°
又∵∠ODC+∠DCO=90°
∴∠BAO=∠ODC且OB=OC,∠AOB=∠COD=90°
∴△AOB≌△COD(ASA)
∴OA=OD,∠OAB=∠ODC
∴∠OAP=∠ODQ
∵∠POQ=90°,∠AOD=90°
∴∠AOP=∠DOQ且OA=OD,∠OAP=∠ODQ
∴△AOP≌△DOQ(ASA)
∴OP=OQ
(3)設(shè)點P橫坐標為n,則點P坐標為(n, n+2),點M的坐標為(n, n2﹣n+2)
∵QF⊥x軸,
∴∠FQO+∠QOF=90°,且∠QOF+∠POE=90°
∴∠FQO=∠EOP
又∵∠OEP=∠QFO=90°,OP=OQ
∴△OPE≌△OQF(AAS)
∴OE=QF,PE=OF
∴點Q的坐標為(n+2,﹣n),點N坐標(n+2,﹣n2﹣n).
由題意可得PM∥QN
當PM=QN時,以P、Q、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形
當點P位于點M上方時:如圖:
∴PM=(n+2)﹣(n2﹣n+2)=n2+n
QN=(﹣n)﹣(﹣n2﹣n)=n2﹣n
∴n2﹣n=n2+n
解得:n=0(不合題意舍去),n=﹣
∴×(﹣)+2=﹣
∴點P坐標為(﹣,﹣)
當點P位于點M下方時,如圖:
∴PM=(n2﹣n+2)﹣(n+2)=﹣n2﹣n
QN=(﹣n)﹣(﹣n2﹣n)=n2﹣n
∴﹣n2﹣n=n2﹣n
解得:n=0(不合題意舍去),n=﹣,
∴×(﹣)+2=
∴點P的坐標為(﹣,)
綜上所述:點P坐標(﹣,﹣),(﹣,)
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】研究問題:一個不透明的盒中裝有若干個白球,怎樣估算白球的數(shù)量?
操作方法:先從盒中摸出8個球,畫上記號放回盒中,再進行摸球?qū)嶒灒驅(qū)嶒灥囊螅合葦嚢杈鶆,每次摸出一個球,放回盒中,再繼續(xù).
統(tǒng)計結(jié)果如表:
摸球的次數(shù)n | 100 | 200 | 300 | 500 | 800 | 1000 |
摸到有記號球的次數(shù)m | 25 | 44 | 57 | 105 | 160 | 199 |
摸到有記號球的頻率 | 0.25 | 0.22 | 0.19 | 0.21 | 0.20 | 0.20 |
(1)請你完成上表中數(shù)據(jù),并估計摸到有記號球的概率是多少?
(2)估計盒中共有球多少個?沒有記號球有多少個?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤中,指針位置固定,三個扇形的面積都相等,且分別標有數(shù)字1,2,3.
(1)小明轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,指針所指扇形中的數(shù)字是奇數(shù)的概率為________;
(2)小明先轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄下指針所指扇形中的數(shù)字;接著再轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,再次記錄下指針所指扇形中的數(shù)字,求這兩個數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率(用畫樹狀圖或列表等方法求解)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】解方程:
(1)(x+8)2=36;
(2)x(5x+4)-(4+5x)=0;
(3)x2+3=3(x+1);
(4)2x2-x-1=0(用配方法).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的袋子中,裝有除顏色外其余均相同的紅、藍兩種球,已知其中紅球有3個,且從中任意摸出一個是紅球的概率為0.75.
(1)根據(jù)題意,袋中有 個藍球.
(2)若第一次隨機摸出一球,不放回,再隨機摸出第二個球.請用畫樹狀圖或列表法求“摸到兩球中至少一個球為藍球(記為事件A)”的概率P(A).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形OBCD中的三個頂點在⊙O上,點A是⊙O上的一個動點(不與點B、C、D重合).
(1)若點A在優(yōu)弧上,且圓心O在∠BAD的內(nèi)部,已知∠BOD=120°,則∠OBA+∠ODA= °.
(2)若四邊形OBCD為平行四邊形.
①當圓心O在∠BAD的內(nèi)部時,求∠OBA+∠ODA的度數(shù);
②當圓心O在∠BAD的外部時,請畫出圖形并直接寫出∠OBA與∠ODA的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某政府在廣場上樹立了如圖所示的宣傳牌,數(shù)學興趣小組的同學想利用所學的知識測量宣傳牌的高度AB,在D處測得點A、B的仰角分別為38°、21°,已知CD=20m,點A、B、C在一條直線上,AC⊥DC,求宣傳牌的高度AB(sin21°≈0.36,cos21°≈0.93,tan21°≈0.38,sin38°≈0.62,cos38°≈0.78,tan38°≈0.79,結(jié)果精確到1米)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點是坐標原點,四邊形是菱形,點的坐標為,點在軸的負半軸上,直線交軸于點,邊交軸于點.
(1)如圖1,求直線的解析式;
(2)如圖2,連接,動點從點出發(fā),沿線段方向以1個單位/秒的速度向終點勻速運動,設(shè)的面積為(),點的運動時間為秒,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個邊長為4的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等,如圖放置,⊙O與BC相切于點C,⊙O與AC相交于點E,則CE的長是:
A. B. C. 2 D. 3
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