Question

1．如圖，拋物線y=-x²+6x與x軸交于O，A兩點，與直線y=2x交于O，B兩點．點P在線段OA上以每秒1個單位的速度從點O向終點A運動，作EP⊥x軸交直線OB于E；同時在線段OA上有另一個動點Q，以每秒1個單位的速度從點A向點O運動（不與點O重合）．作CQ⊥x軸交拋物線于點C，以線段CQ為斜邊作如圖所示的等腰直角△CQD．設運動時間為t秒．
（1）求點B的坐標；
（2）當t=1秒時，求CQ的長；
（3）求t為何值時，點E恰好落在△CQD的某一邊所在的直線上．

Answer 1

分析 （1）由拋物線與直線相交，聯(lián)立找出關于x的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）找出當t=1時，C點的橫坐標，代入拋物線即可得出C點的縱坐標，C點的縱坐標的絕對值即CQ的長度；
（3）用t表示出E點的坐標，以及線段DQ、CD、CQ所在的直線解析式，由點在直線上，即可解出t的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+6x與與直線y=2x交于O，B兩點，
∴2x=-x²+6x，解得：x=0（舍去），x=4，
當x=4時，y=2×4=8．
故點B的坐標為（4，8）．
（2）∵拋物線y=-x²+6x與x軸交于O，A兩點，
∴-x²+6x=0，解得：x=0（舍去），x=6，
即點A的坐標為（6，0）．
當t=1時，點C橫坐標x=6-1=5，
點C縱坐標y=-5²+5×6=5．
故點C坐標為（5，5），
即當t=1秒時，CQ的長為5．
（3）過點D作DF⊥CQ于點F，如圖所示．

當時間為t時，E點坐標為（t，2t），C點坐標為（6-t，6t-t²）．
∵△CQD為等腰直角三角形，且CQ⊥x軸，
∴DF∥x軸，且∠CDF=∠QDF=45°，
∴Q點坐標為（6-t，0），
設CD所在的直線解析式為y=x+b₁，DQ所在的直線解析式為y=-x+b₂．
結(jié)合C、Q點的坐標可知：$\left\{\begin{array}{l}{6t-{t}^{2}=6-t+_{1}}\\{0=t-6+_{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=-{t}^{2}+7t-6}\\{_{2}=6-t}\end{array}\right.$．
故CD所在直線的解析式為y=x-t²+7t-6，DQ所在的直線解析式為y=-x-t+6，
而CQ所在直線的解析式為x=6-t．
當點E在CD所在的直線上時，有2t=t-t²+7t-6，
解得：t=3±$\sqrt{3}$；
當點E在DQ所在的直線上時，有2t=-t-t+6，
解得：t=1.5；
當點E在CQ所在的直線上時，有t=6-t，
解得：t=3．
綜上可知：當t=1.5或3-$\sqrt{3}$或3或3+$\sqrt{3}$時，點E恰好落在△CQD的某一邊所在的直線上．

點評 本題考察了求二次函數(shù)與一次函數(shù)交點、坐標系中點坐標的意義以及等腰直角三角形的性質(zhì)．解題的關鍵：（1）解一元二次方程；（2）點C坐標的意義；（3）用t表示出△CQD三邊所在直線的解析式．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）難度不小，解決該類型題目時，用時間t表示直線的解析式是關鍵．