Question

9．已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC，E是直線BC上的一點(diǎn)，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，且∠APD=45°，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在AB、AC上時(shí)，如圖（1），易證：BD=CE．當(dāng)點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2）；當(dāng)點(diǎn)D在AB反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（3）．圖（2）圖（3）又有怎樣的結(jié)論？猜想并選擇其中一圖進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 圖（2）中，結(jié)論：BD=CE，由△FAD≌△DBC得DF=DC，可以證明△DFC是等腰直角三角形，再證明四邊形AECF是平行四邊形，即可解決問(wèn)題，圖（3）結(jié)論不變，證明方法類(lèi)似．

解答 解：圖（2）中，結(jié)論：BD=CE
理由：作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠B=90°，
∴∠FAD=∠B，
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠B}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD，
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°，
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴FC∥AP，
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF=CE，∵AF=BD
∴BD=CE．
（2）圖（3）中，結(jié)論：BD=CE
理由：作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠B=90°，
∴∠FAD=∠B，
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠B}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD，
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°，
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴FC∥AP，
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF=CE，∵AF=BD，
∴BD=CE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)/平行四邊形的判定及性質(zhì)/等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．