【題目】根據(jù)要求回答問(wèn)題:
(1)【提出問(wèn)題】
已知:菱形ABCD的變長(zhǎng)為4,∠ADC=60°,△PEF為等邊三角形,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上時(shí)(如圖1所示),求AE+AF的值;
(2)【類比探究】
在上面的問(wèn)題中,如果把點(diǎn)P沿DA方向移動(dòng),使PD=1,其余條件不變(如圖2),你能發(fā)現(xiàn)AE+AF的值是多少?請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論;
(3)【拓展遷移】
在原問(wèn)題中,當(dāng)點(diǎn)P在線段DA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖3),設(shè)AP=m,則線段AE、AF的長(zhǎng)與m有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:如圖1,
,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴PA=PC,
∵∠ADC=60°,
∴△ACD是等邊三角形,
∴AC=AD=4,
又∵△PEF為等邊三角形,
∴∠ADC=∠EPF=60°,
∴∠APF=∠CPE,
在△APF和△CPE中,
∴△APF≌△CPE,
∴CE=AF,
∴AE+AF=AE+CE=AC=4,
即AE+AF的值是4.
(2)解:如圖2,點(diǎn)G是AC上的一點(diǎn),且滿足CG=PD=1,
,
∵CG=PD,AC=AD,
∴AG=AP,
∴ ,
∴GP∥CD,
∴∠GPA=∠CDA=60°,
又∵EPF=60°,
∴∠APF=∠GPE,
在△APF和△GPE中,
∴△APF≌△GPE,
∴GE=AF,
∴AE+AF=AE+GE=AG=AC﹣CG=4﹣1=3,
即AE+AF的值是3
(3)解:如圖3,作PH∥CD交CE于點(diǎn)H,
,
由(1),可得△ACD是等邊三角形,
∵PH∥CD,
∴△AHP∽△ACD,
∴△AHP是等邊三角形,
∴PA=PH,∠APH=∠EPF=60°,
∴∠FPA=∠EPH,
在△APF和△HPE中,
∴△APF≌△HPE,
∴AF=HE,
又∵PA=AH,
∴AE=PA+AF,
∴AE﹣AF=m.
【解析】(1)首先判斷出△ACD是等邊三角形,即可判斷出AC=AD=4;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△APF≌△CPE,即可判斷出CE=AF,據(jù)此求出AE+AF的值是多少即可.(2)首先取AC上的點(diǎn)G,使得CG=PD=1,判斷出GP∥CD,即可判斷出∠APF=∠GPE;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△APF≌△GPE,即可判斷出GE=AF,據(jù)此求出AE+AF的值是多少即可.(3)首先作PH∥CD交CE于點(diǎn)H,判斷出△AHP∽△ACD,即可判斷出△AHP是等邊三角形;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△APF≌△HPE,即可判斷出AF=HE,再根據(jù)PA=AH,可得AE=PA+AF,所以AE﹣AF=m,據(jù)此解答即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,以及對(duì)菱形的性質(zhì)的理解,了解菱形的四條邊都相等;菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠BAD=70°,∠BCD=40°,則∠BED的度數(shù)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB交CD于O,OE⊥AB.
(1)若∠EOD=20°,求∠AOC的度數(shù);
(2)若∠AOC:∠BOC=1:2,求∠EOD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】按照下面的步驟計(jì)算:
任意寫一個(gè)三位數(shù),百位數(shù)字比個(gè)數(shù)數(shù)字大3交換差的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字用大數(shù)減去小數(shù)交換它的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字做加法
問(wèn)題:(1)用不同的三位數(shù)再做兩次,結(jié)果都是1089嗎?
(2)你能解釋其中的道理嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知°,點(diǎn)在的內(nèi)部,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱,若,則______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知下列命題中為真命題的是( )
① 的算術(shù)平方根是4;
②若ma2>na2 , 則m>n;
③正八邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是135°;
④對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形;
⑤平分弦的直徑垂直于弦.
A.①③④
B.②③⑤
C.①④⑤
D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是的邊上一點(diǎn),連結(jié),此時(shí)有結(jié)論,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)是邊上的中點(diǎn)時(shí),的面積 的面積(填“>”“<”或“=”).
(2)如圖1,點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn),連結(jié)交于點(diǎn),若、、的面積分別為5,8,10,則的面積是 (直接寫出結(jié)論).
(3)如圖2,若點(diǎn)分別是的邊上的中點(diǎn),且,求四邊形的面積.可以用如下方法:連結(jié),由得,同理:,設(shè),,則,,由題意得,,可列方程組為:,解得,可得四邊形的面積為20.解答下面問(wèn)題:
如圖3,是的三等分點(diǎn),是的三等分點(diǎn),與交于,且,請(qǐng)計(jì)算四邊形的面積,并說(shuō)明理由.
圖1 圖2 圖3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) 的坐標(biāo)為,以 A 為頂點(diǎn)的的兩邊始終與 軸交于 、兩點(diǎn)(在 左面),且.
(1)如圖,連接,當(dāng) 時(shí),試說(shuō)明:.
(2)過(guò)點(diǎn) 作軸,垂足為,當(dāng)時(shí),將沿所在直線翻折,翻折后邊 交 軸于點(diǎn) ,求點(diǎn) 的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,已知直線,在直線上取兩點(diǎn),為直線上的兩點(diǎn),無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置都有:____________(填“>”、“<”或“=”)
(2)如圖2,在一塊梯形田地上分別要種植大豆(空白部分)和芝麻(陰影部分),若想把種植大豆的兩塊地改為一塊地,且使分別種植兩種植物的面積不變,請(qǐng)問(wèn)應(yīng)該怎么改進(jìn)呢?寫出設(shè)計(jì)方案,并在圖中畫出相應(yīng)圖形并簡(jiǎn)述理由.
(3)如圖3,王爺爺和李爺爺兩家田地形成了四邊形,中間有條分界小路(圖中折線),左邊區(qū)域?yàn)橥鯛敔數(shù),右邊區(qū)域?yàn)槔顮敔數(shù)摹,F(xiàn)在準(zhǔn)備把兩家田地之間的小路改為直路,請(qǐng)你用有關(guān)的幾何知識(shí),按要求設(shè)計(jì)出修路方案,并在圖中畫出相應(yīng)的圖形,說(shuō)明方案設(shè)計(jì)理由。(不計(jì)分界小路與直路的占地面積).
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