【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為a、a+2,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B,且a、m滿足2a﹣m=d(d為常數(shù)).
(1)若一次函數(shù)y1=kx+b的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn).
①當(dāng)a=1、d=﹣1時(shí),求k的值;
②若y1隨x的增大而減小,求d的取值范圍;
(2)當(dāng)d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4時(shí),判斷直線AB與x軸的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)點(diǎn)A、B的位置隨著a的變化而變化,設(shè)點(diǎn)A、B運(yùn)動(dòng)的路線與y軸分別相交于點(diǎn)C、D,線段CD的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化嗎?如果不變,求出CD的長(zhǎng);如果變化,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)①k的值為﹣3;②d>﹣4;(2)AB∥x軸;(3)線段CD的長(zhǎng)隨m的值的變化而變化,DC=|8﹣2m|.
【解析】試題分析:(1)①當(dāng)a=1、d=﹣1時(shí),m=2a﹣d=3,于是得到拋物線的解析式,然后求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),最后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線AB的解析式求得k的值即可;
②將x=a,x=a+2代入拋物線的解析式可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的縱坐標(biāo),然后依據(jù)y1隨著x的增大而減小,可得到﹣(a﹣m)(a+2)>﹣(a+2﹣m)(a+4),結(jié)合已知條件2a﹣m=d,可求得d的取值范圍;
(2)由d=﹣4可得到m=2a+4,則拋物線的解析式為y=﹣x2+(2a+2)x+4a+8,然后將x=a、x=a+2代入拋物線的解析式可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的縱坐標(biāo),最后依據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)可判斷出AB與x軸的位置關(guān)系;
(3)先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),于是得到點(diǎn)A和點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路線與字母a的函數(shù)關(guān)系式,則點(diǎn)C(0,2m),D(0,4m﹣8),于是可得到CD與m的關(guān)系式.
試題解析:解:(1)①當(dāng)a=1、d=﹣1時(shí),m=2a﹣d=3,所以二次函數(shù)的表達(dá)式是y=﹣x2+x+6.
∵a=1,∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3,把x=1代入拋物線的解析式得:y=6,把x=3代入拋物線的解析式得:y=0,∴A(1,6),B(3,0).
將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線的解析式得:,解得:,所以k的值為﹣3.
②∵y=﹣x2+(m﹣2)x+2m=﹣(x﹣m)(x+2),∴當(dāng)x=a時(shí),y=﹣(a﹣m)(a+2);當(dāng)x=a+2時(shí),y=﹣(a+2﹣4)(a+4),∵y1隨著x的增大而減小,且a<a+2,∴﹣(a﹣m)(a+2)>﹣(a+2﹣m)(a+4),解得:2a﹣m>﹣4,又∵2a﹣m=d,∴d的取值范圍為d>﹣4.
(2)∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4,2a﹣m=d,∴m=2a+4,∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣x2+(2a+2)x+4a+8.
把x=a代入拋物線的解析式得:y=a2+6a+8.
把x=a+2代入拋物線的解析式得:y=a2+6a+8,∴A(a,a2+6a+8)、B(a+2,a2+6a+8).
∵點(diǎn)A、點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同,∴AB∥x軸.
(3)線段CD的長(zhǎng)隨m的值的變化而變化.
∵y=﹣x2+(m﹣2)x+2m過點(diǎn)A、點(diǎn)B,∴當(dāng)x=a時(shí),y=﹣a2+(m﹣2)a+2m,當(dāng)x=a+2時(shí),y=﹣(a+2)2+(m﹣2)(a+2)+2m,∴A(a,﹣a2+(m﹣2)a+2m)、B(a+2,﹣(a+2)2+(m﹣2)(a+2)+2m),∴點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路線是的函數(shù)關(guān)系式為y1=﹣a2+(m﹣2)a+2m,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路線的函數(shù)關(guān)系式為y2=﹣(a+2)2+(m﹣2)(a+2)+2m,∴點(diǎn)C(0,2m),D(0,4m﹣8),∴DC=|2m﹣(4m﹣8)|=|8﹣2m|,∴線段CD的長(zhǎng)隨m的值的變化而變化.
當(dāng)8﹣2m=0時(shí),m=4時(shí),CD=|8﹣2m|=0,即點(diǎn)C與點(diǎn)D重合;當(dāng)m>4時(shí),CD=2m﹣8;當(dāng)m<4時(shí),CD=8﹣2m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)給出的數(shù)軸及已知條件,解答下面的問題:
(1)已知點(diǎn),,表示的數(shù)分別為,,觀察數(shù)軸,,兩點(diǎn)之間的距離為_______;與點(diǎn)的距離為的點(diǎn)表示的數(shù)是_______;
(2)若將數(shù)軸折疊,使得點(diǎn)與點(diǎn)合,則與點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)是______;若此數(shù)軸上,兩點(diǎn)之間的距離為(在的左側(cè)),且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)點(diǎn)也恰好重合,則,兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是::_______,_______.
(3)若數(shù)軸上,兩點(diǎn)間的距離為(在左側(cè)),表示數(shù)的點(diǎn)到,兩點(diǎn)的距離相等,則將數(shù)軸折疊,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),,兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為:______,______.(用含,的式子表示這兩個(gè)數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,A是線段BC上一點(diǎn),△ABD和△ACE都是等邊三角形.
(1)連結(jié)BE,DC,求證:BE=DC.
(2)如圖②,將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′.
①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為__ _度時(shí),邊AD′落在AE上.
②在①的條件下,延長(zhǎng)DD′交CE于點(diǎn)P,連結(jié)BD′,CD′.當(dāng)線段AB,AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),△BDD′與△CPD′全等?并給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若多項(xiàng)式的次數(shù)為,項(xiàng)數(shù)為;當(dāng)時(shí),此多項(xiàng)式的值為.
(1)分別寫出所表示的數(shù),并計(jì)算代數(shù)式的值;
(2)設(shè)有理數(shù)0,,,在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn).
①請(qǐng)比較線段與線段的大小.
②若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn),比較與的大小,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題原型)如圖,在中,對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn),交于點(diǎn),交于點(diǎn).求證:四邊形是菱形.
(小海的證法)證明:
是的垂直平分線,
,(第一步)
,(第二步)
.(第三步)
四邊形是平行四邊形.(第四步)
四邊形是菱形. (第五步)
(老師評(píng)析)小海利用對(duì)角線互相平分證明了四邊形是平行四邊形,再利用對(duì)角線互相垂直證明它是菱形,可惜有一步錯(cuò)了.
(挑錯(cuò)改錯(cuò))(1)小海的證明過程在第________步上開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤.
(2)請(qǐng)你根據(jù)小海的證題思路寫出此題的正確解答過程,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國(guó)新版高鐵“復(fù)興號(hào)”率先在北京南站和上海虹橋站雙向首發(fā)“復(fù)興號(hào)”高鐵從某車站出發(fā),在行駛過程中速度(千米/分鐘)與時(shí)間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)當(dāng)時(shí),求關(guān)于工的函數(shù)表達(dá)式,
(2)求點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)求高鐵在時(shí)間段行駛的路程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).過點(diǎn)作軸,垂足為點(diǎn),過點(diǎn)作軸,垂足為點(diǎn),連結(jié)、、、.點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求的值.
(2)若的面積為.
①求點(diǎn)的坐標(biāo).
②在平面內(nèi)存在點(diǎn),使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,直接寫出
符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo).
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