【題目】如圖1,△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2,將線段BC繞點(diǎn)C順時(shí)旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD,連接AD.
(1)說(shuō)明△ACD的形狀,并求出△ACD的面積;
(2)把等腰直角三角板按如圖2的方式擺放,頂點(diǎn)E在CB邊上,頂點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上,直角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合.從A,B兩題中任選一題作答:
A .如圖3,連接DE,BF,
①猜想并證明DE與BF之間的關(guān)系;②將三角板繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),直接寫出DE與BF之間的關(guān)系.
B .將圖2中的三角板繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<360°),如圖4所示,連接BE,DF,連接點(diǎn)C與BE的中點(diǎn)M,
①猜想并證明CM與DF之間的關(guān)系;②當(dāng)CE=1,CM=時(shí),請(qǐng)直接寫出α的值.
【答案】(1)△ACD是等腰三角形,;(2)A①DE=BF,DE⊥BF,見(jiàn)解析;②DE=BF,DE⊥BF.
【解析】
(1)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,則∠AEC=∠AED=90°.可證四邊形ABCE是矩形,從而AE=BC=2,AB=CE=1,可得AE垂直平分CD,從而△ACD是等腰三角形;再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可;
(2)A.①根據(jù)“SAS”可證△BCF≌△DCE,從而DE=BF,∠CBF=∠CDE,延長(zhǎng)DE交BF于點(diǎn)H,由∠DEC+∠CDE=90°,可證∠BEH+∠CBF=90°,所以∠BHE=90°,即DE⊥BF;
②證明方法同①;
B. ①延長(zhǎng)MC交DF于點(diǎn)N,延長(zhǎng)CM至點(diǎn)G,使CM=MG,連接EG,根據(jù)“SAS”證明△MEG≌△MBC,從而BC=GE, BC∥GE,然后再證明△ECG≌△CFD,可得CG=DF,∠ECG=∠CFD,進(jìn)而可證明結(jié)論成立;
②作FH⊥DC,交DC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)H,設(shè)FH=x,CH=y.由勾股定理列方程組求出x與y的值,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可知∠FCH =30°,進(jìn)而可求α=60°或300°.
△ACD是等腰三角形,理由如下:
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,則∠AEC=∠AED=90°.
又∵∠ABC=90°,∠BCE=90°,
∴四邊形ABCE是矩形,∴AE=BC=2,AB=CE=1,∴CD=1,
∴AE垂直平分CD,∴AC=AD,
∴△ACD是等腰三角形,
;
(2)A:
①DE=BF,DE⊥BF.理由如下:
由旋轉(zhuǎn)可知,BC=CD=2,∠BCD=90°,
∵等腰直角△CEF頂點(diǎn)E在CB邊上,頂點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上,
∴CE=CF,∠BCF=∠DCE=90°.
在△BCF和△DCE中,BC=DC,∠BCF=∠DCE,CF=CE,
∴△BCF≌△DCE(SAS),∴DE=BF,∠CBF=∠CDE,
延長(zhǎng)DE交BF于點(diǎn)H,
∵∠DEC+∠CDE=90°,∠DEC=∠BEH,∴∠BEH+∠CBF=90°,
∴∠BHE=90°,∴DE⊥BF;
②DE=BF,DE⊥BF.證明方法同①;
B:①CM=DF,CM⊥DF.理由如下:
延長(zhǎng)MC交DF于點(diǎn)N,延長(zhǎng)CM至點(diǎn)G,使CM=MG,連接EG,
∵M(jìn)是BE的中點(diǎn),∴ME=MB.
在△MEG和△MBC中,ME=MB,∠EMG=∠BMC,MG=MC,
∴△MEG≌△MBC(SAS),∴CM=MG=CG,BC=GE, BC∥GE,
∵BC=CD,∴EG=CD.
由旋轉(zhuǎn)得∠BCE=α,
∵BC∥GE,∴∠CEG=180°-α,
∵∠DCF=360°-∠ECF-∠BCE-∠BCD=180°-α,
∴∠CEG=∠DCF,
在△ECG和△CFD中,CE=CF,∠CEG=∠DCF,∠CEG=∠DCF,
∴△ECG≌△CFD(SAS),∴CG=DF,∠ECG=∠CFD,
∵M(jìn)G=MC,∴MC=DF ,
∵∠ECF=90°,∴∠ECG+∠FCN=∠FCD+∠FCN=90°,
∴∠CNF=90°,∴DE⊥BF;
②作FH⊥DC,交DC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)H,設(shè)FH=x,CH=y.
∵CM=,∴DF=CG=,
∴,解之得.
∴FH=CF,
∴∠FCH =30°,∴∠FCD=120°,∴∠BCE=60°,
∴α=60°或300°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖△ABC和△DEC都是等腰三角形,點(diǎn)C為它們的公共直角頂點(diǎn),連AD、BE,F為線段AD的中點(diǎn),連CF.
(1)如圖1,當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí),BE與CF的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)如圖2,把△DEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,問(wèn)(1)中的關(guān)系是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)如圖3,把△DEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)鈍角,其他條件不變,問(wèn)(1)中的關(guān)系是否仍然成立?如成立請(qǐng)證明,如果不成立,請(qǐng)寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某新店開(kāi)業(yè)宣傳,進(jìn)店有禮活動(dòng),店員們需準(zhǔn)備制作圓柱體禮品紙盒(如圖①),每個(gè)紙盒由1個(gè)長(zhǎng)方形側(cè)面和2個(gè)圓形底面組成,現(xiàn)有100張正方形紙板全部以A或者B方法截剪制作(如圖②),設(shè)截剪時(shí)x張用A方法.
(1)根據(jù)題意,完成以下表格:
裁剪法A | 裁剪法B | |
長(zhǎng)方形側(cè)面 | x |
|
圓形底面 |
| 0 |
(2)若裁剪出的長(zhǎng)方形側(cè)面和圓形底面恰好用完,問(wèn)能做多少個(gè)紙盒?
(3)按以上制作方法,若店員們希望準(zhǔn)備300個(gè)禮盒,那至少還需要正方形紙板 張.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,線段AB、CD的端點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)圖(1)中,畫一個(gè)以線段AB一邊的四邊形ABEF,且四邊形ABEF是面積為7的中心對(duì)稱圖形,點(diǎn)E、F都在小正方形的頂點(diǎn)上,并直接寫出線段BE的長(zhǎng);
(2)在圖(2)中,畫一個(gè)以線段CD為斜邊直角三角形CDG,且△CDG的面積是2,點(diǎn)G在小方形的頂點(diǎn)上。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某文具店用1050元購(gòu)進(jìn)第一批某種鋼筆,很快賣完,又用1440元購(gòu)進(jìn)第二批該種鋼筆,但第二批每支鋼筆的進(jìn)價(jià)是第一批進(jìn)價(jià)的1.2倍,數(shù)量比第一批多了10支。
(1)求第一批每支鋼筆的進(jìn)價(jià)是多少元?
(2)第二批鋼筆按24元/支的價(jià)格銷售,銷售一定數(shù)量后,根據(jù)市場(chǎng)情況,商店決定對(duì)剩余的鋼筆全按8折一次性打折銷售,但要求第二批鋼筆的利潤(rùn)率不低于20%,問(wèn)至少銷售多少支后開(kāi)始打折?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】公司改革實(shí)行每月考核再獎(jiǎng)勵(lì)的新制度,大大調(diào)動(dòng)了員工的積極性,2019年王明在公司前七個(gè)月每月獎(jiǎng)金的變化如下表;(正數(shù)表示比前一月多的錢數(shù),負(fù)數(shù)表示比前一 月少的錢數(shù),單位;元)
設(shè)王明2018年12月份獎(jiǎng)金為a元.
(1)用含a的代數(shù)式表示2019年四月份的獎(jiǎng)金;
(2)請(qǐng)直接寫出2019年一月到七月中王明得到獎(jiǎng)金最多是哪個(gè)月?最少是哪個(gè)月?他們相差多少元?
(3)若2019年前七個(gè)月,王明得到獎(jiǎng)金最多的那個(gè)月的獎(jiǎng)金是2800元,請(qǐng)求出a的值?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,把一張長(zhǎng)方形卡片ABCD放在每格寬度為12mm的橫格紙中,恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上,已知∠α=36°,求長(zhǎng)方形卡片的周長(zhǎng).(精確到1mm)(參考數(shù)據(jù):sin36°≈0.60,cos36°≈0.80,tan36°≈0.75)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年5月區(qū)教育局在全區(qū)中小學(xué)開(kāi)展了“情系新疆書(shū)香援疆”捐書(shū)活動(dòng).某學(xué)校學(xué)生社團(tuán)對(duì)部分學(xué)生所捐圖書(shū)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了下面不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中所提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)統(tǒng)計(jì)表中的_____________,_____________,_____________,_____________;
(2)科普?qǐng)D書(shū)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角是_____________°;
(3)若該校共捐書(shū)1500本,請(qǐng)估算“科普?qǐng)D書(shū)”和“小說(shuō)”一共多少本.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)立方體的每個(gè)面上都標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,根據(jù)圖中該立方體A、B、C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字,可推出“?”處的數(shù)字是
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