【題目】如圖△ABC和△DEC都是等腰三角形,點C為它們的公共直角頂點,連AD、BE,F為線段AD的中點,連CF.
(1)如圖1,當(dāng)D點在BC上時,BE與CF的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)如圖2,把△DEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,問(1)中的關(guān)系是否仍然成立?請說明理由.
(3)如圖3,把△DEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個鈍角,其他條件不變,問(1)中的關(guān)系是否仍然成立?如成立請證明,如果不成立,請寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明.
【答案】(1)BE=2CF;(2)(1)中的關(guān)系是仍然成立,理由見解析;(3)(1)中的關(guān)系是仍然成立,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)“SAS”證明△ACD≌△BCE,可得AD=BE,又因為AD=2CF,從而BE=2CF;
(2)由點F是AD中點,可得AD=2DF,從而AC= 2DF+CD,又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形,可知BC=2DF+CE,所以BE= 2(DF+CE),CF= DF+CD,從而BE=2CF;
(3)延長CF至G使FG=CF,即:CG=2CF,可證△CDF≌△GAF,再證明△BCE≌△ACG,從而BE=CG=2CF成立.
解:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC,
∵△CDE是等腰直角三角形,
∴CD=CE,
在△ACD和△BCE中,,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,在Rt△ACD中,點F是AD中點,
∴AD=2CF,
∴BE=2CF,
故答案為BE=2CF;
(2)(1)中的關(guān)系是仍然成立,
理由:∵點F是AD中點,
∴AD=2DF,
∴AC=AD+CD=2DF+CD,
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,
∴BC=2DF+CE,
∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2(DF+CE),
∵CF=DF+CD=DF+CD,
∴BE=2CF;
(3)(1)中的關(guān)系是仍然成立,理由:如圖3,
延長CF至G使FG=CF,即:CG=2CF,
∵點F是AD中點,
∴AF=DF,
在△CDF和△GAF中,,
∴△CDF≌△GAF,
∴AG=CD=CE,∠CDF=∠GAF,
∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD,
∴∠CAG=∠BCE,
連接BE,
在△BCE和△ACG中,,
∴△BCE≌△ACG,
∴BE=CG=2CF,
即:BE=2CF.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點A、B、C是數(shù)軸上三點,O為原點.點C對應(yīng)的數(shù)為6,BC=4,AB=12.
(1)求點A、B對應(yīng)的數(shù);
(2)動點P、Q分別同時從A、C出發(fā),分別以每秒6個單位和3個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動.M為AP的中點,N在CQ上,且CN=CQ,設(shè)運動時間為t(t>0).
①求點M、N對應(yīng)的數(shù)(用含t的式子表示); ②t為何值時,OM=2BN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對x,y定義一種新運算T,規(guī)定:T(x,y)=(其中a、b均為非零常數(shù)),這里等式右邊是通常的四則運算,例如:T(0,1)==b.
(1)已知T(1,﹣1)=﹣2,T(4,2)=1.
①求a,b的值;
②若關(guān)于m的不等式組 恰好有3個整數(shù)解,求實數(shù)p的取值范圍;
(2)若T(x,y)=T(y,x)對任意實數(shù)x,y都成立(這里T(x,y)和T(y,x)均有意義),則a,b應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,將筆記本活頁一角折過去,使角的頂點A落在A′處,BC為折痕;
(1)圖①中,若∠1=30°,則∠A′BD=_____;
(2)如果在圖②中改變∠1的大小,則BA的位置也隨之改變,又將活頁的另一角斜折過去,使BD邊與BA′重合,折痕為BE.那么∠CBE的度數(shù)是否會發(fā)生變化呢?請說明理由.
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【題目】為弘揚中華傳統(tǒng)文化,黔南州近期舉辦了中小學(xué)生“國學(xué)經(jīng)典大賽”,比賽項目為:A.唐詩;B.宋詞;C.論語;D.三字經(jīng).比賽形式為兩人對抗賽,即把四種比賽項目寫在4張完全相同的卡片上,比賽時,比賽的兩人從中隨機抽取1張卡片作為自己的比賽項目(不放回,且每人只能抽取一次)比賽時,小紅和小明分到一組.(1)小明先抽取,那么小明抽到唐詩的概率是多少?
(2)小紅擅長唐詩,小紅想:“小明先抽取,我后抽取”抽到唐詩的概率是不同的,且小明抽到唐詩的概率更大,若小紅后抽取,小紅抽中唐詩的概率是多少?小紅的想法對嗎?
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【題目】計算:
(1)﹣4.2+5.7﹣5.8+10
(2)(﹣3)×(﹣4)﹣60÷|﹣12|
(3)
(4)﹣14+[(﹣3)2﹣(1﹣22)×2]
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【題目】如圖,直線y=﹣x+4與x軸交于點C,與y軸交于點B,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,點E是直線BC上方拋物線上的一動點,當(dāng)△BEC面積最大時,請求出點E的坐標(biāo);
(3)在(2)的結(jié)論下,過點E作y軸的平行線交直線BC于點M,連接AM,點Q是拋物線對稱軸上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P、Q是方格紙中的兩格點,請按要求畫出以PQ為對角線的格點四邊形.(頂點都在格點上的四邊形稱為格點四邊形)
(1)在圖①中畫出一個面積最小的中心對稱圖形PAQB,
(2)在圖②中畫出一個四邊形PCQD,使其是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形,且另一條對角線CD由線段PQ以某一格點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)得到.
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【題目】如圖1,△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2,將線段BC繞點C順時旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD,連接AD.
(1)說明△ACD的形狀,并求出△ACD的面積;
(2)把等腰直角三角板按如圖2的方式擺放,頂點E在CB邊上,頂點F在DC的延長線上,直角頂點與點C重合.從A,B兩題中任選一題作答:
A .如圖3,連接DE,BF,
①猜想并證明DE與BF之間的關(guān)系;②將三角板繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),直接寫出DE與BF之間的關(guān)系.
B .將圖2中的三角板繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0<α<360°),如圖4所示,連接BE,DF,連接點C與BE的中點M,
①猜想并證明CM與DF之間的關(guān)系;②當(dāng)CE=1,CM=時,請直接寫出α的值.
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