Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點M（

3

2

，

3

2

）為圓心的圓經(jīng)過原點，且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，經(jīng)過A，B兩點的拋物線y=-x²+bx+c的頂點為N．
（1）求拋物線的解析式及點N的坐標；
（2）求直線BN的解析式，判斷BN與⊙M的位置關系，并證明；
（3）點P是x軸上一動點，點Q是拋物線上一動點．是否存在這樣的點P、Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進而利用配方法求出頂點坐標即可；
（2）首先求出直線BN的解析式，進而利用已知得出∠ABE=∠OBA+∠OBE=90°，由切線的判定得出即可；
（3）利用當BQ₁∥x軸，則Q₁的縱坐標為：3，進而得出其橫坐標，進而求出符合題意的點，以及當AB∥P₃Q₂，四邊形BP₃Q₂A是平行四邊形，進而求出即可．

解答：解：（1）如圖1，作MC⊥OA于C，作MD⊥OB于D，則C（

3

2

，0），D（0，

3

2

）
∵M為圓心，
∴OA=2OC=3，OB=2OD=3，
∴A（3，0），B（0，3），
∴

-9+3b+c=0 c=3

，
解得

b=2 c=3

，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴N（1，4）；

（2）設直線BN的解析式為y=kx+m，
根據(jù)題意得

k+m=4 m=3

，
解得

k=1 m=3

，
∴直線BN的解析式為y=x+3，
直線BN與⊙M相切，
證明：設直線BN與x軸相交于點E，
由y=x+3=0，得x=-3，所以E（-3，0），
∴OE=OB=OA，
∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴AB為⊙M直徑，
∠OBA=∠OBE=45°，
∴∠ABE=∠OBA+∠OBE=90°，
∴直線BN與⊙M相切；

（3）存在，
當BQ₁∥x軸，則Q₁的縱坐標為：3，
∴3=-（x-1）²+4，
解得：x₁=0，x₂=2，
∴Q₁（2，3），
∴BQ₁=2，
當四邊形BAP₂Q₁是平行四邊形，
∴AP₂=2，
∴P₂（5，0），
同理可得出：P₁（1，0），
當AB∥P₃Q₂，
四邊形BP₃Q₂A是平行四邊形，
∵設直線AB的解析式為：y=dx+e，
∴

3d+e=0 e=3

，
解得：

d=-1 e=3

，
∴直線AB的解析式為：y=-x+3，
∴直線P₃Q₂的解析式為：y=-x+f，
由題意可得出：Q₂縱坐標為：-3，
∴其橫坐標為：-3=-x²+2x+3，
解得：x=1±

7

，
∴Q₂（1+

7

，-3），
∴-3=-（1+

7

）+f，
解得：f=-2+

7

，
∴y=-x-2+

7

，
∴P₃（-2+

7

，0），
同理可得出：P₄（-2-

7

，0），
綜上所述：符合題意P點坐標為：P₁（1，0），P₂（5，0），P₃（-2+

7

，0），P₄（-2-

7

，0）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應用以及平行四邊形的性質(zhì)與判定等知識，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關鍵．