Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象與x軸交于、B（2，0）兩點，且與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）直接寫出不等式-x²+ax+b＞0的解集；
（3）在此拋物線上是否存在點P，使得以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象經(jīng)過、B（2，0）兩點，利用待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值，求出拋物線的解析式．
（2）不等式-x²+ax+b＞0的解集，實際上就是y=-x²+ax+b＞0時x的取值范圍，利用拋物線與x軸的交點和圖象特征就可以求出．
（3）在（1）題已將證得∠ACB=90°，若A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形，則有兩種情況需要考慮：
①以BC、AP為底，AC為高；可先求出直線BC的解析式，進而可確定直線AP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點P的坐標．
②以AC、BP為底，BC為高；方法同①．
解答：解：（1））∵二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象經(jīng)過、B（2，0）兩點，由題意，得
，解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x+1．
∴C（0，1），
∴AC²=AO²+CO²=，
CB²=BO²+CO²=5，
AB²=，
∴AC²+CB²=AB²，
∴△ACB是直角三角形；

（2）由圖象得原不等式的解集為：
-＜x＜2

（3）存在，點P（，-）或（-，-9）；
若以A、C、B、P四點為頂點的直角梯形以BC、AP為底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直線BC的解析式為：y=-x+1；
設過點B且平行于AC的直線的解析式為y=-x+h，
將點A（-，0）代入得：（-）×（-）+h=0，h=-；
∴y=-x-；
聯(lián)立拋物線的解析式有：
，
解得，；
∴點P（，-）；
若以A、C、B、P四點為頂點的直角梯形以AC、BP為底，
同理可求得P（-，-9）；
故當P（，-）或（-，-9）時，以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形．
（根據(jù)拋物線的對稱性求出另一個P點坐標亦可）
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式的關系，直角梯形的運用．