【題目】已知四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)P在直線BC上,點(diǎn)G在直線AD上(PG不與正方形頂點(diǎn)重合,且在CD的同側(cè)),PD=PGDFPG于點(diǎn)H,交直線AB于點(diǎn)F,將線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,連結(jié)EF

1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD上時(shí).

①求證:DF=PG;

②若AB=3,PC=1,求四邊形PEFD 的面積;

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)猜想四邊形PEFD 是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想.

【答案】1)①詳見(jiàn)解析;②8;(2)(2)四邊形PEFD是菱形,證明詳見(jiàn)解析

【解析】

1)①根據(jù)四邊形ABCD為正方形得AD=CD ,然后證明△ADF≌△CDP,則DF=DP,得到DF=PG;

②先判斷四邊形PEFD是菱形,然后求出PG=DP=,過(guò)點(diǎn)PPMAD于點(diǎn)M,則四邊形CDMP是矩形,則△DHG∽△PMG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),即可求出答案;

2)根據(jù)四邊形ABCD為正方形得AD=AB,由四邊形ABPM為矩形得AB=PM,則AD=PM,再利用等角的余角相等得到∠GDH=MPG,于是可根據(jù)“ASA”證明ADF≌△MPG,得到DF=PG,加上PD=PG,得到DF=PD,然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EPG=90°,PE=PG,所以PE=PD=DF,再利用DFPG得到DFPE,于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形,加上DF=PD,則可判斷四邊形PEFD為菱形.

解:(1)①證明 ∵四邊形ABCD是正方形,

AD=CD ,∠A= C=ADC=90°,

DF⊥PG,

∴∠DHG=90°,

∴∠HGD+ADF=90°,∠CDP+PDG=90°,

PD=PG

∴∠PGD=PDG,

∴∠ADF=CDP,

∴△ADF≌△CDPASA),

DF=DP,

PD=PG,

DF=PG;

②∵線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE

∴∠GPE=DHG=90°, PG=PE=DF= PD

PEDF

∴四邊形PEFD是菱形

RtDCP中,AD=AB=3PC=1,PG=DP=

過(guò)點(diǎn)PPM⊥AD于點(diǎn)M,則四邊形CDMP是矩形

DM=MG=PC=1,DG=2DM=2

PMG=DHG=90°,∠DGH=PGM

△DHG∽△PMG

GH= PH=PG-GH=

由(1DF=DP=

∴四邊形PEFD的面積是=×=8 ;

2)四邊形PEFD是菱形 ;

PM⊥DGM,如圖2

四邊形ABCD為正方形,

∴AD=AB,

四邊形ABPM為矩形,

∴AB=PM

∴AD=PM

∵DF⊥PG,

∴∠DHG=90°

∴∠GDH+∠DGH=90°,

∵∠MGP+∠MPG=90°,

∴∠GDH=∠MPG,

△ADF△MPG

,

∴△ADF≌△MPGASA),

∴DF=PG,而PD=PG

∴DF=PD,

線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE

∴∠EPG=90°,PE=PG,

∴PE=PD=DFDF⊥PG,

∴DF∥PE,且DF =PE,

四邊形PEFD為平行四邊形,

∵DF=PD,

四邊形PEFD為菱形.

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1)線段AC的長(zhǎng)為 

2)在如圖所示的網(wǎng)格中,AM是△ABC的角平分線,在AM上求一點(diǎn)P,使CP+DP的值最小,請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺,畫(huà)出AM和點(diǎn)P,并簡(jiǎn)要說(shuō)明AM和點(diǎn)P的位置.

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分檔

戶年用水量

(立方米)

自來(lái)水價(jià)格

(元/立方米)

污水處理費(fèi)

(元/立方米)

第一階梯

0-220(含220

1.92

1.70

第二階梯

220-300(含300

3.30

1.70

第三階梯

300以上

4.30

1.70

注:1.應(yīng)繳納水費(fèi) = 自來(lái)水費(fèi)總額 + 污水處理費(fèi)總額

2.應(yīng)繳納污水處理費(fèi)總額 = 用水量×污水處理費(fèi)× 0.9

仔細(xì)閱讀上述材料,請(qǐng)解答下面的問(wèn)題,并把答案寫(xiě)在答題紙上:

1)小靜家2019年上半年共計(jì)用水量100立方米,應(yīng)繳納水費(fèi) 元;

2)小靜家全年繳納的水費(fèi)共計(jì)1000.5元,那么2019年全年用水量為 立方米;

3)如圖所示是上海市階梯水價(jià)y與用水量x的函數(shù)關(guān)系,那么第二階梯(線段AB)的函數(shù)解析式為 ,定義域

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1)甲種防護(hù)服和乙種防護(hù)服每件各多少元?

2)實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí),發(fā)現(xiàn)廠家有兩種優(yōu)惠方案,方案一:購(gòu)買(mǎi)甲種防護(hù)服超過(guò)20件時(shí),超過(guò)的部分按原價(jià)的8折付款,乙種防護(hù)服沒(méi)有優(yōu)惠;方案二:兩種防護(hù)服都按原價(jià)的9折付款,該社會(huì)團(tuán)體決定購(gòu)買(mǎi)件甲種防護(hù)服和30件乙種防護(hù)服.

①求兩種方案的費(fèi)用與件數(shù)的函數(shù)解析式;

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