【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,⊙O的圓心O在坐標原點,半徑OB在x軸正半軸上,點P是⊙O外一點,連接PO,與⊙O交于點A,PC、PD是⊙O的切線,切點分別為點C、點D,AO=OB=2,∠POB=120°,點M 坐標為(1,-).
(1)求證:OP⊥CD;
(2)連結(jié)OM,求∠AOM的大。
(3) 如果點E在x軸上,且△ABE與△AOM相似,求點E的坐標.
【答案】(1)見解析;(2)150°;(3) E(4,0)或(8,0).
【解析】
(1)根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)證明Rt△PDO ≌Rt△PCO,就可以證明OP⊥CD(2)連接OM,利用三角函數(shù)值解直角三角形即可(3)根據(jù)△ABE與△AOM相似,可以得到邊,角的關(guān)系,進而得到點的坐標.
(1)連接OD、OC
∵PC、PD是⊙O的切線
∴∠PDO=∠PCO=90° ,PC=PD
∵在Rt△PDO 與Rt△PCO中
∴Rt△PDO ≌Rt△PCO(HL)
∴∠CPO=∠DPO
∵PC=PD,∠CPO=∠DPO
∴OP⊥CD
(2)連接OM,作MH⊥x軸
∵在Rt△HMO中 ∴tan∠HOM== ∴ ∠HOM=30°
∴ ∠AOM=∠HOM+∠POB=30°+120°=150°
(3)由OA=OB=2,∠AOB=120°,得∠ABO=30°
若點E在點B左側(cè)時,不論∠AEB和∠EAB哪個
角等于150°,此時三角形內(nèi)角和都大于180°
則點E只能在點B右側(cè)
∵∠ABO=30°∴∠ABE=∠AOM=150°
若△ABE與△AOM相似存在兩種情況
①△AOM ∽△ABE ∴=
∴ BE=2
∴E(4,0)
②△AOM ∽△EBA ∴=
∴ BE=6
∴E(8,0)
綜上所述:E(4,0)或(8,0).
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【題目】如圖,已知P是⊙O外一點,PO交⊙O于點C,OC=CP=4,弦AB⊥OC,劣弧AB的度數(shù)為120°,連接PB.
(1)求BC的長;
(2)求證:PB是⊙O的切線.
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【題目】某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果,對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預(yù)測,井建立如下模型:設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P(單位:噸),P與t之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系,其圖象是函數(shù)P=(0<t≤8)的圖象與線段AB的組合;設(shè)第t個月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q(單位:萬元),Q與t之間滿足如下關(guān)系:Q=
(1)當8<t≤24時,求P關(guān)于t的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w(單位:萬元)
①求w關(guān)于t的函數(shù)解析式;
②該藥廠銷售部門分析認為,336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤范圍,求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值.
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【題目】如圖所示的是一種新型的滑梯的示意圖,其中線段PA是長為米的平臺,滑道AB是反比例麗數(shù)圖象的部分,滑道 BCD是二次函數(shù)y=-(x-5)2+2圖象的部分,兩滑道的連接點B為拋物線的頂點,且點C的橫坐標為6.
(1)求滑道AB所在曲線的解析式;
(2)問小剛同學(xué)從點A滑到點C時,其下降的高度為多少米?
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【題目】我市某中學(xué)舉行“中國夢校園好聲音”歌手大賽,高、初中部根據(jù)初賽成績,各選出5名選手組成初中代表隊和高中代表隊參加學(xué)校決賽.兩個隊各選出的5名選手的決賽成績?nèi)鐖D所示.
(1)根據(jù)圖示填寫下表;
平均數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | |
初中部 | 85 | ||
高中部 | 85 | 100 |
(2)結(jié)合兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個隊的決賽成績較好;
(3)計算兩隊決賽成績的方差并判斷哪一個代表隊選手成績較為穩(wěn)定.
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【題目】2018年10月23日,港珠澳大橋正式開通,成為橫亙在伶仃洋上的一道靚麗的風(fēng)景.大橋主體工程隧道的東、西兩端各設(shè)置了一個海中人工島,來銜接橋梁和海底隧道,西人工島上的A點和東人工島上的B點間的距離約為5.6千米,點C是與西人工島相連的大橋上的一點,A,B,C在一條直線上.如圖,一艘觀光船沿與大橋段垂直的方向航行,到達P點時觀測兩個人工島,分別測得與觀光船航向的夾角∠DPA=18°,∠DPB=53°,求此時觀光船到大橋AC段的距離的長.
參考數(shù)據(jù):°,°,°,°,°,°.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,四條拋物線如圖所示,其解析式中的二次項系數(shù)一定小于1的是( 。
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
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【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AB=25,BC=15.
(1)如圖1,折疊△ABC使點A落在AC邊上的點D處,折痕交AC、AB分別于Q、H,若S△ABC=9S△DHQ,則HQ= .
(2)如圖2,折疊△ABC使點A落在BC邊上的點M處,折痕交AC、AB分別于E、F.若FM∥AC,求證:四邊形AEMF是菱形;
(3)在(1)(2)的條件下,線段CQ上是否存在點P,使得△CMP和△HQP相似?若存在,求出PQ的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形草坪ABCD中,∠B=90°,AB=24m,BC=7m,CD=15m,AD=20m.
(1)判斷∠ADC是否是直角,并說明理由;
(2)試求四邊形草坪ABCD的面積.
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