Question

6．已知直線y=kx-3與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點C．拋物線y=-$\frac{3}{4}$x²+mx+n經(jīng)過點A和點C．且與x軸交于點B，動點P在x軸上以每秒1個單位長度的速度由點B向點A運動．點Q由點C沿線段CA向點A運動．且速度是點P運動速度的2倍．
（1）求直線的解析式和拋物線的解析式；
（2）如果點P和點Q同時出發(fā)．運動時間為t（秒）．試問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOC相似．

Answer 1

分析 （1）先把A點坐標代入y=kx-3可求出k得到直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3，再利用直線解析式求出C（0，-3），然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）利用拋物線與x軸的交點問題求出B（1，0），則可根據(jù)勾股定理計算出AB=5，則AP=3-t，AQ=5-2t，然后分類討論：由于∠PAQ=∠OAC，所以當∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△AOC，利用相似比得到$\frac{3-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$；當∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△ACO，利用相似比得到$\frac{3-t}{5}$=$\frac{5-2t}{4}$，再分別解關于t的方程求出t即可．

解答 解：（1）把A（4，0）代入y=kx-3得4k-3=0，解得k=$\frac{3}{4}$，則直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3；
當x=0時，y=$\frac{3}{4}$x-3=-3，則C（0，-3），
把A（4，0），C（0，-3）代入y=-$\frac{3}{4}$x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{-12+4m+n=0}\\{n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{15}{4}}\\{n=-3}\end{array}\right.$．
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x-3；
（2）對于拋物線y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x-3；
當y=0，-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x-3=0，解得x₁=1，x₂=4，
∴B（1，0），
∴AB=3，
∵AO=4，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AP=3-t，AQ=5-2t，
∵∠PAQ=∠OAC，
∴當∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△AOC，則$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{3-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$，解得t=$\frac{5}{3}$；
當∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△ACO，則$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{3-t}{5}$=$\frac{5-2t}{4}$，解得t=$\frac{13}{6}$，
綜上所述，當t的值$\frac{5}{3}$$\frac{13}{6}$時，以P、Q、A為頂點的三角形與△AOC相似．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；能用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會求拋物線與x軸的交點坐標；靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)和分類討論思想．