Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)A（1，﹣1），且與直線y＝kx+2相交于B（2，0）和C兩點(diǎn)

（1）求拋物線和直線BC的解析式；

（2）求證：△ABC是直角三角形；

（3）拋物線上存在點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△BDF是等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）詳見解析；（3）E（）；（4）符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．

【解析】

（1）將B（2，0）代入設(shè)拋物線解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，將B（2，0）代入y＝kx+2，求得k；

（2）分別求出AB2、BC2、AC2，根據(jù)勾股定理逆定理即可證明；

（3）作∠BCE＝∠ACB，與拋物線交于點(diǎn)E，延長AB，與CE的延長線交于點(diǎn)A'，過A'作A'H垂直x軸于點(diǎn)H，設(shè)二次函數(shù)對稱軸于x軸交于點(diǎn)G．根據(jù)對稱與三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，求得點(diǎn)E坐標(biāo)；

（4）設(shè)F（1，m），分三種情況討論：①當(dāng)BF＝BD時(shí)，，②當(dāng)DF＝BD時(shí)，，③當(dāng)BF＝DF時(shí)，，m＝1，然后代入即可．

（1）設(shè)拋物線解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，

將B（2，0）代入，

0＝a（2﹣1）2﹣1，

∴a＝1，

拋物線解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，

將B（2，0）代入y＝kx+2，

0＝2k+2，

k＝﹣1，

∴直線BC的解析式：y＝﹣x+2；

（2）聯(lián)立，

解得，，

∴C（﹣1，3），

∵A（1，﹣1），B（2，0），

∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，

AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，

BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）如圖，作∠BCE＝∠ACB，與拋物線交于點(diǎn)E，延長AB，與CE的延長線交于點(diǎn)A'，過A'作A'H垂直x軸于點(diǎn)H，設(shè)二次函數(shù)對稱軸于x軸交于點(diǎn)G．

∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°，

∴點(diǎn)A與A'關(guān)于直線BC對稱，

AB＝A'B，

可知△AFB≌△A'HB（AAS），

∵A（1，﹣1），B（2，0）

∴AG＝1，BG＝OG＝1，

∴BH＝1，A'H＝1，OH＝3，

∴A'（3，1），

∵C（﹣1，3），

∴直線A'C：，

聯(lián)立：，

解得或，

∴E（，）；

（4）∵拋物線的對稱軸：直線x＝1，

∴設(shè)F（1，m），

直線BC的解析式：y＝﹣x+2；

∴D（0，2）

∵B（2，0），

∴BD＝

，

，

①當(dāng)BF＝BD時(shí)，，

m＝±，

∴F坐標(biāo)（1，）或（1，﹣）

②當(dāng)DF＝BD時(shí)，，

m＝2±，

∴F坐標(biāo)（1，2+）或（1，2﹣）

③當(dāng)BF＝DF時(shí)，，

m＝1，

F（1，1），此時(shí)B、D、F在同一直線上，不符合題意．

綜上，符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．