Question

8．定義：如圖，點(diǎn)M、N把線(xiàn)段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)M、N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)．已知點(diǎn)M、N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)，若AM=2，MN=3，求BN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 分兩種情況：①當(dāng)MN為最大線(xiàn)段時(shí)，由勾股定理求出BN；②當(dāng)BN為最大線(xiàn)段時(shí)，由勾股定理求出BN即可．

解答 解：分兩種情況：
①當(dāng)MN為最大線(xiàn)段時(shí)，
∵點(diǎn) M、N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；                      
②當(dāng)BN為最大線(xiàn)段時(shí)，
∵點(diǎn)M、N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
綜上所述：BN的長(zhǎng)為$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“勾股分割點(diǎn)”、勾股定理；理解新定義，熟練掌握勾股定理，進(jìn)行分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．