Question

8．定義：如圖，點M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點．已知點M、N是線段AB的勾股分割點，若AM=2，MN=3，求BN的長．

Answer 1

分析 分兩種情況：①當MN為最大線段時，由勾股定理求出BN；②當BN為最大線段時，由勾股定理求出BN即可．

解答 解：分兩種情況：
①當MN為最大線段時，
∵點 M、N是線段AB的勾股分割點，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；                      
②當BN為最大線段時，
∵點M、N是線段AB的勾股分割點，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
綜上所述：BN的長為$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了新定義“勾股分割點”、勾股定理；理解新定義，熟練掌握勾股定理，進行分類討論是解決問題的關鍵．