Question

20．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=-1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為B．
（1）若直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先由題意根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用交點(diǎn)式，求得拋物線的解析式；再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式；
（2）首先利用勾股定理求得BC，PB，PC的長(zhǎng)，然后分別從點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=-1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為B，
∴B的坐標(biāo)為：（-3，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x+3），
把C（0，3）代入，-3a=3，
解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-（x-1）（x+3）=-x²-2x+3；
把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得：
$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線y=mx+n的解析式為：y=x+3；

（2）設(shè)P（-1，t），
又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，
①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC²+PB²=PC²，
即：18+4+t²=t²-6t+10，解之得：t=-2；
②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC²+PC²=PB²，
即：18+t²-6t+10=4+t²，解之得：t=4，
③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB²+PC²=BC²，
即：4+t²+t²-6t+10=18，
解之得：t₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$；
綜上所述P的坐標(biāo)為（-1，-2）或（-1，4）或（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$） 或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式以及直角三角形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．