Question

8．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如果∠BAC=90°，則∠BCE=90°；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如果∠BAC=50°，請(qǐng)你求出∠BCE的度數(shù)．（寫(xiě)出求解過(guò)程）；
（3）探索發(fā)現(xiàn)，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論：β=180°-α．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出完整圖形并請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論：β=180°-α．

Answer 1

分析 （1）由條件可證得△ABD≌△ACE，可得∠ABD=∠ACE=45°，利用條件可求得∠ACB=45°，可求得∠BCE=90°；
（2）同（1）可證得∠ABD=∠ACE，在△ABC中由等腰三角形的性質(zhì)可求得∠ACD，從而可求得∠BCE；
（3）①同（1）可證得∠ABD=∠ACE，在△ABC中由等腰三角形的性質(zhì)可求得∠ACD=∠ABC=$\frac{180°-α}{2}$，從而可求得∠BCE；②過(guò)程同①．

解答 解：（1）∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACB=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
故答案為：90°；
（2）∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABD=∠ACB=$\frac{180°-50°}{2}$=65°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=65°+65°=130°；
（3）①∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABD=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}$，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=2∠ACB=180°-α，
故答案為：180°-α；
②如圖，

∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABD=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}$，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=2∠ACB=180°-α，
故答案為：180°-α．

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等，把后面的問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為第（1）問(wèn)中的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，即利用三角形全等證得角相等．本題所考查知識(shí)都是基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大，屬于中檔題．