Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)D點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．作射線(xiàn)CE，并將射線(xiàn)CE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，旋轉(zhuǎn)后的射線(xiàn)與AB邊交于點(diǎn)F，連接EF

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）猜想線(xiàn)段DE，EF，BF的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥EF，垂足為點(diǎn)G，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）EF=DE+BF，見(jiàn)解析；（3）2π

【解析】

（1）依題意補(bǔ)全圖形即可；

（2）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H，使DH＝BF，連接CH，證明△CDH≌△CBF（SAS）．得出CH＝CF，∠DCH＝∠BCF．證明△ECH≌△ECF（SAS）．得出EH＝EF．即可得出結(jié)論；

（3）確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1．

（2）線(xiàn)段DE，EF，BF的數(shù)量關(guān)系是 EF=DE+BF

證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H，使DH=BF，連接CH（如圖2）．

易證△CDH≌△CBF．

∴CH= CF，∠DCH=∠BCF．

∵∠ECF=45°，

∴∠ECH=∠ECD+∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°．

∴∠ECH=∠ECF=45°．

又∵CE= CE，

∴△ECH≌△ECF．

∴EH= EF．

∴EF=DE+BF．

（3）點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)長(zhǎng)為2π