Question

13．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，試的△BCD面積與△PBC的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法先求出b，再利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．
（2）利用勾股定理的逆定理即可判斷．
（3）①過點(diǎn)D作平行于BC的直線與拋物線的解得計(jì)算所求的點(diǎn)P，②對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)F（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{8}$），過點(diǎn)F平行于BC的直線與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2得b=-$\frac{3}{2}$，
∴拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）．
（2）令y=0，x²-3x-4=0，x=-1或4，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴AC²+BC²=5+20=25，AB²=5²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
（3）直線BC解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
過點(diǎn)D作平行于BC的直線為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{31}{8}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{31}{8}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{25}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{11}{8}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{11}{8}$），
對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)F（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{8}$），
過點(diǎn)F平行于BC的直線：y=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8+\sqrt{34}}{4}}\\{y=\frac{7+\sqrt{34}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8-\sqrt{34}}{4}}\\{y=\frac{7-\sqrt{34}}{8}}\end{array}\right.$．
∴P′坐標(biāo)（$\frac{8+\sqrt{34}}{4}$，$\frac{7-\sqrt{34}}{8}$），P″坐標(biāo)（$\frac{8-\sqrt{34}}{4}$，$\frac{7-\sqrt{34}}{8}$）．
綜上所述，滿足△BCD面積與△PBC的面積相等點(diǎn)P的坐標(biāo)（$\frac{5}{2}$，-$\frac{11}{8}$）或（$\frac{8+\sqrt{34}}{4}$，$\frac{7-\sqrt{34}}{8}$）或（$\frac{8-\sqrt{34}}{4}$，$\frac{7-\sqrt{34}}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸交點(diǎn)、待定系數(shù)法、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線性質(zhì)，同底等高的三角形面積相等解決問題，利用方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考常考題型．