Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x+k的圖象與反比例函數(shù)y=-$\frac{4}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（-4，n）和點(diǎn)B．
（1）求k的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若P是x軸上一點(diǎn)，且AP=AB，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)帶入反比例函數(shù)解析式中，求出n值，再將A點(diǎn)的坐標(biāo)帶入一次函數(shù)解析式中即可求出k值，聯(lián)立一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出線段AP和AB的長(zhǎng)度，根據(jù)AP=AB得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）把A（-4，n）代入$y=-\frac{4}{x}$中，
得：n=-$\frac{4}{-4}$=1，
把A（-4，1）代入y=-x+k中，
得：1=-（-4）+k，解得：k=-3．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=-x-3\\ y=-\frac{4}{x}.\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=1.\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-4.\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，-4）．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）．
則：AB=$\sqrt{（-4-1）^{2}+[1-（-4）]^{2}}$=5$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{（-4-m）^{2}+（1-0）^{2}}$．
∵AP=AB，
∴5$\sqrt{2}$=$\sqrt{（-4-m）^{2}+（1-0）^{2}}$，即m²+8m-33=0，
解得：m₁=-11，m₂=3．
答：點(diǎn)P的是坐標(biāo)（3，0）或（-11，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組；（2）找出關(guān)于m的一元二次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難道不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合數(shù)量關(guān)系找出方程（或方程組）是關(guān)鍵．