Question

20．已知：如圖①，將∠D=60°的菱形ABCD沿對角線AC剪開，將△ADC沿射線DC方向平移，得到△BCE，點M為邊BC上一點（點M不與點B、點C重合），將射線AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，與EB的延長線交于點N，連接MN．
（1）①求證：∠ANB=∠AMC；
         ②探究△AMN的形狀；
（2）如圖②，若菱形ABCD變?yōu)檎�方形ABCD，將射線AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，原題其他條件不變，（1）中的①、②兩個結(jié)論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出變化后的結(jié)論并證明．

Answer 1

分析 （1）①先由菱形可知四邊相等，再由∠D=60°得等邊△ADC和等邊△ABC，則對角線AC與四邊都相等，利用ASA證明△ANB≌△AMC，得結(jié)論；
②根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出：△AMN是等邊三角形；
（2）①成立，根據(jù)正方形得45°角和射線AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，證明△ANB∽△AMC，得∠ANB=∠AMC；
②不成立，△AMN是等腰直角三角形，利用①中的△ANB∽△AMC，得比例式進(jìn)行變形后，再證明△NAM∽△BAD，則△AMN是等腰直角三角形．

解答 證明：（1）如圖1，①∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠D=60°，
∴△ADC和△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠NAM=60°，
∴∠NAB=∠CAM，
由△ADC沿射線DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABN=∠ACB=60°，
∴△ANB≌△AMC，
∴∠ANB=∠AMC；
②如圖1，△AMN是等邊三角形，理由是：
由∴△ANB≌△AMC，
∴AM=AN，
∵∠NAM=60°，
∴△AMN是等邊三角形；
（2）①如圖2，∠ANB=∠AMC成立，理由是：
在正方形ABCD中，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°，
∵∠NAM=45°，
∴∠NAB=∠MAC，
由平移得：∠EBC=∠CAD=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABN=180°-90°-45°=45°，
∴∠ABN=∠ACM=45°，
∴△ANB∽△AMC，
∴∠ANB=∠AMC；
②如圖2，不成立，
△AMN是等腰直角三角形，理由是：
∵△ANB∽△AMC，
∴$\frac{AN}{AM}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$，
∵∠NAM=∠BAC=45°，
∴△NAM∽△BAC，
∴∠ANM=∠ABC=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形．

點評 本題是四邊形的綜合題，綜合考查了菱形、等邊三角形、等腰直角三角形等圖形的性質(zhì)，本題有一處易犯的錯誤要注意：“將射線AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，與EB的延長線交于點N，”AM與AN不一定相等，要注意是射線AM旋轉(zhuǎn)，而不是線段；在證明相似三角形時，本題巧妙地運用了一對相似三角形的對應(yīng)邊的比來證明另一對三角形相似，從而得出△AMN是等腰直角三角形．