【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=AC,點D在邊AC上,將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△CBE,連接ED并延長交BA的延長線于點F.
(1)求證:∠CDE=∠ABD;
(2)探究線段AD,CD,BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若AD=1,CD=3,求線段EF的長.
【答案】(1)(2)見解析;(3).
【解析】
(1)先判斷出△ABD≌△CBE,進而判斷出∠ABD=∠CDE;
(2)先判斷出△DCE是直角三角形,進而得出DE2=BD2+BE2=2BE2,即可得出結(jié)論;
(3)先利用勾股定理求出DE,再判斷出△FAD∽△FDB,得出FD=FA,最后用勾股定理求出FA即可得出結(jié)論.
(1)證明:∵∠ABC=90°,AB=BC
∴∠BAC=∠ACB=45°,
∵△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△CBE
∴△ABD≌△CBE,∠DBE=∠ABC=90°,
∴BD=BE,∠BCE=∠BAC=45°.
∴∠BDE=∠BED=45°.
∵∠BDC=∠BAD+∠ABD=∠ABD+45°,∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CDE+45°,
∴∠ABD=∠CDE.
(2)∵∠ACB=45°,∠BCE=45°,
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°.
∴CD2+CE2=DE2,
∵BD=BE,∠DBE=90°,
∴DE2=BD2+BE2=2BE2,
∵△ABD≌△CBE,
∴AD=CE.
∴AD2+CD2=2BE2,
(3)∵AD=1,CD=3,
∴AC=4,BD=BE==.
∵∠DBE=90°,
∴DE==
在Rt△ABC中,AB=ACsin∠ACB=2.
∵∠ABD=∠CDE=∠ADF,∠F=∠F,
∴△FAD∽△FDB.
∴,即
∴FD=FA,F(xiàn)D2=FAFB.
∴(FA)2=FA(FA+2).解得FA=或FA=0(舍去)
∴FD=FA=.
∴EF=FD+DE=
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【題目】(題文)如圖,已知正方形ABCD,點E是BC邊的中點,DE與AC相交于點F,連接BF,下列結(jié)論:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=2S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為A(0,a),B(b,a),且a、b滿足(a﹣2)2+|b﹣4|=0,現(xiàn)同時將點A,B分別向下平移2個單位,再向左平移1個單位,分別得到點A,B的對應(yīng)點C,D,連接AC,BD,AB.
(1)求點C,D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABCD;
(2)在y軸上是否存在一點M,連接MC,MD,使S△MCD=S四邊形ABDC?若存在這樣一點,求出點M的坐標,若不存在,試說明理由;
(3)點P是直線BD上的一個動點,連接PA,PO,當點P在BD上移動時(不與B,D重合),直接寫出∠BAP、∠DOP、∠APO之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】已知矩形 ABCD 的一條邊 AD=8,將矩形 ABCD 折疊,使得頂點 B 落在 CD 邊上的 P 點處.
(1)求證:△OCP∽△PDA;
(2)若△OCP 與△PDA 的面積比為 1:4,求邊 AB 的長;
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【題目】由于數(shù)學(xué)課上需要用到科學(xué)計算器,班級決定集體購買,班長小明先去文具店購買了2個A型計算器和3個B型計算器,共花費90元;后又買了1個A型計算器和2個B型計算器,共花費55元(每次兩種計算器的售價都不變)
(1)求A型計算器和B型計算器的售價分別是每個多少元?
(2)經(jīng)統(tǒng)計,班內(nèi)還需購買兩種計算器共40個,設(shè)購買A型計算器t個,所需總費用w元,請求出w關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)要求:B型計算器的數(shù)量不少于A型計數(shù)器的2倍,請設(shè)計一種購買方案,使所需總費用最低.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知A(a,0),B(0,b)且a,b滿足,
點P在線段AB上(含端點)的一點,連接OP。
(1)若AB=,且△OBP是以OB為腰長的等腰三角形,求BP的長;
(2)如圖1,過點A作AQ⊥x軸(Q在x軸上方),且滿足∠OPQ=90°,求證:OP=PQ;
(3)如圖2,C,D分別為OA,OB上的兩點,且OC=OD,點P滿足OP⊥AD,過點P作
PE⊥BC交AD的延長線于點E,試探究AE,OP,PE之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明。
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【題目】抗震救災(zāi)中,某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全,決定將甲、乙兩個倉庫的糧食,全部轉(zhuǎn)移到具有較強抗震功能的A、B兩倉庫.已知甲庫有糧食100噸,乙?guī)煊屑Z食80噸,而A庫的容量為70噸,B庫的容量為110噸.從甲、乙兩庫到A、B兩庫的路程和運費如下表:(表中“元/噸千米”表示每噸糧食運送1千米所需人民幣)
路程(千米) | 運費(元/噸千米) | |||
甲庫 | 乙?guī)?/span> | 甲庫 | 乙?guī)?/span> | |
A庫 | 20 | 15 | 12 | 12 |
B庫 | 25 | 20 | 10 | 8 |
(1)若甲庫運往A庫糧食x噸,請寫出將糧食運往A、B兩庫的總運費y(元)與x(噸)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當甲、乙兩庫各運往A、B兩庫多少噸糧食時,總運費最省,最省的總運費是多少?
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【題目】如圖,矩形ABCD中,∠BAD的平分線AE與BC邊交于點E,點P是線段AE上一定點(其中PA>PE),過點P作AE的垂線與AD邊交于點F(不與D重合).一直角三角形的直角頂點落在P點處,兩直角邊分別交AB邊,AD邊于點M,N.
(1)求證:△PAM≌△PFN;
(2)若PA=3,求AM+AN的長.
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【題目】某游泳館每年夏季推出兩種游泳付費方式,方式一:先購買會員證,每張會員證100元,只限本人當年使用,憑證游泳每次再付費5元;方式二:不購買會員證,每次游泳付費9元.
設(shè)小明計劃今年夏季游泳次數(shù)為x(x為正整數(shù)).
(I)根據(jù)題意,填寫下表:
游泳次數(shù) | 10 | 15 | 20 | … | x |
方式一的總費用(元) | 150 | 175 | ______ | … | ______ |
方式二的總費用(元) | 90 | 135 | ______ | … | ______ |
(Ⅱ)若小明計劃今年夏季游泳的總費用為270元,選擇哪種付費方式,他游泳的次數(shù)比較多?
(Ⅲ)當x>20時,小明選擇哪種付費方式更合算?并說明理由.
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