Question

【題目】如圖1，給定銳角三角形ABC，小明希望畫(huà)正方形DEFG，使D，E位于邊BC上，F，G分別位于邊AC，AB上，他發(fā)現(xiàn)直接畫(huà)圖比較困難，于是他先畫(huà)了一個(gè)正方形HIJK，使得點(diǎn)H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，而不需要求J必須位于AC上．這時(shí)他發(fā)現(xiàn)可以將正方形HIJK通過(guò)放大或縮小得到滿足要求的正方形DEFG.

閱讀以上材料，回答小明接下來(lái)研究的以下問(wèn)題：

(1)如圖2，給定銳角三角形ABC，畫(huà)出所有長(zhǎng)寬比為2：1的長(zhǎng)方形DEFG，使D，E位于邊BC上，F，G分別位于邊AC，AB上．

(2)已知三角形ABC的面積為36，BC＝12，在第(1)問(wèn)的條件下，求長(zhǎng)方形DEFG的面積．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) 18或.

【解析】

（1）如圖2，先畫(huà)長(zhǎng)方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，連結(jié)BJ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，再將長(zhǎng)方形HIJK通過(guò)放大可得到滿足要求的長(zhǎng)方形DEFG；如備用圖，先畫(huà)長(zhǎng)方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，連結(jié)BJ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，再將長(zhǎng)方形HIJK通過(guò)放大可得到滿足要求的長(zhǎng)方形DEFG；
（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面積為36，求出AM=6．再設(shè)AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，由此求出x的值，進(jìn)而求解即可．

解　(1)如圖2與備用圖1，長(zhǎng)方形DEFG即為所求作的圖形；

(2)在長(zhǎng)方形DEFG中，如果DE＝2DG，如備用圖2，作△ABC的高AM，交GF于N.

∵三角形ABC的面積＝BC·AM＝×12AM＝36，

∴AM＝6.

設(shè)AN＝x，則MN＝6－x，DG＝MN＝6－x，DE＝GF＝2(6－x)＝12－2x.

∵GF∥BC，

∴△AGF∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

解得x＝3，

∴DG＝6－x＝3，DE＝2DG＝6，

∴長(zhǎng)方形DEFG的面積＝6×3＝18；

在長(zhǎng)方形DEFG中，如果DG＝2DE，同理求出x＝，

∴DG＝6－x＝，DE＝DG＝，

∴長(zhǎng)方形DEFG的面積＝×＝.

故長(zhǎng)方形DEFG的面積為18或.

故答案為：(1)見(jiàn)解析;(2) 18或.