【題目】已知:如圖,在RtABC中,∠C90°,AC8cmBC6cm,點(diǎn)PB出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;點(diǎn)QA出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts)(0t4),解答下列問題:

1)當(dāng)t為何值時(shí),PQBC;

2)設(shè)△AQP的面積為ycm2),求yt之間的函數(shù)關(guān)系式;

3)是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把RtACB的周長和面積同時(shí)平分?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說明理由;

4)如圖,連接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQPC,那么是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形PQPC為菱形?若存在,求出此時(shí)菱形的邊長;若不存在,說明理由.

【答案】(1);(2)y=﹣t2+6t.(3)不存在t的值使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分;(4)ts

【解析】

1)只要證明△APQ∽△ABC,可得=,構(gòu)建方程即可解決問題;(2)過點(diǎn)PPEACE,則有△APE∽△ABC,由相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問題;(3)由題意可求RtACB的周長和面積,當(dāng)線段PQ恰好把RtACB的周長平分,可得AP+AQ×2412,可求t的值,代入yt之間的函數(shù)關(guān)系式,可求出y12,則不存在t的值使線段PQ恰好把RtACB的周長和面積同時(shí)平分;(4)連接P'PAC于點(diǎn)O,由△APO∽△ABC,可得=,即=,可得AO,由菱形的性質(zhì)可得OQOC,構(gòu)建方程即可解決問題.

解:(1)在RtABC中,AB 10cm),

∵點(diǎn)PB出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;點(diǎn)QA出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;

BPtAQ2t,則AP10t,

PQBC

∴△APQ∽△ABC,

=

=

t

∴當(dāng)ts時(shí),PQBC

2)如圖,過點(diǎn)PPEAC于點(diǎn)E

PEAC,BCAC,

PEBC,

∴△APE∽△ABC,

=,

=,

PE6t

y×2t×6t)=﹣t2+6t

3)∵∠C90°,AC8cm,BC6cm,AC10cm,

∴△ABC的周長為24cm,ABC的面積為24cm2

∵線段PQ恰好把RtACB的周長平分,

AP+AQ×2412,

10t+2t12,

t2

當(dāng)t2時(shí),y=﹣×4+12≠×24,

∴不存在t的值使線段PQ恰好把RtACB的周長和面積同時(shí)平分.

4)如圖,連接P'PAC于點(diǎn)O,

∵四邊形PQP′C為菱形

POACOQOC,

POBC,

∴△APO∽△ABC

=,,

=,,

AO ,

OQOC,

AOAQACAO,

2t8

t,

∴當(dāng)ts時(shí),四邊形PQP′C為菱形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,已知拋物線yax2a0)與一次函數(shù)ykx+b的圖象相交于A(﹣1,﹣1),B2,﹣4)兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上不與AB重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Qy軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

1)請直接寫出a,k,b的值及關(guān)于x的不等式ax2kx2的解集;

2)當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí),請求出△PAB面積的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)是否存在以P,Q,AB為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出P,Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】如圖,某興趣小組用無人機(jī)進(jìn)行航拍測高,無人機(jī)從1號樓和2號樓的地面正中間B點(diǎn)垂直起飛到高度為50米的A處,測得1號樓頂部E的俯角為60°,測得2號樓頂部F的俯角為45°.已知1號樓的高度為20米,則2號樓的高度為_____(結(jié)果保留根號)

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【題目】△ABC是一張等腰直角三角形紙板,∠C=Rt∠,AC=BC=2,

1)要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形,有甲、乙兩種剪法(如圖1),比較甲、乙兩種剪法,哪種剪法所得的正方形面積大?請說明理由.

2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取,記所得正方形面積為s1;按照甲種剪法,在余下的△ADE△BDF中,分別剪取正方形,得到兩個(gè)相同的正方形,稱為第2次剪取,并記這兩個(gè)正方形面積和為s2(如圖2),則s2=;再在余下的四個(gè)三角形中,用同樣方法分別剪取正方形,得到四個(gè)相同的正方形,稱為第3次剪取,并記這四個(gè)正方形面積和為s3,繼續(xù)操作下去,則第10次剪取時(shí),s10=;

3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面積之和.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】周末小明約上小亮一起到馬山公園游玩,如圖所示,小明從家(A點(diǎn))出發(fā),沿著北偏西60°方向的道路行走2千米到達(dá)小亮家(B點(diǎn)),然后兩人再沿著北偏東45°方向一起去馬山公園(C點(diǎn)),到達(dá)馬山公園后小明發(fā)現(xiàn)自己家(A點(diǎn))正好在馬山公園(C點(diǎn))的正南方向,求小明家(A家)到馬山公園(C點(diǎn))的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,給定銳角三角形ABC,小明希望畫正方形DEFG,使D,E位于邊BC上,F,G分別位于邊ACAB上,他發(fā)現(xiàn)直接畫圖比較困難,于是他先畫了一個(gè)正方形HIJK,使得點(diǎn)H,I位于射線BC上,K位于射線BA上,而不需要求J必須位于AC上.這時(shí)他發(fā)現(xiàn)可以將正方形HIJK通過放大或縮小得到滿足要求的正方形DEFG.

閱讀以上材料,回答小明接下來研究的以下問題:

(1)如圖2,給定銳角三角形ABC,畫出所有長寬比為21的長方形DEFG,使D,E位于邊BC上,F,G分別位于邊ACAB上.

(2)已知三角形ABC的面積為36,BC12,在第(1)問的條件下,求長方形DEFG的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,科技小組準(zhǔn)備用材料圍建一個(gè)面積為60m2的矩形科技園ABCD,其中一邊AB靠墻,墻長為12m。設(shè)AD的長為xm,DC的長為ym。

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長不超過26m,材料AD和DC的長都是米數(shù),求出滿足條件的所有圍建方案。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,1)B(1,4),C(3,2)

(1)畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱的圖形△A1BC1

(2)以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為12,在y軸的左側(cè),畫出△ABC放大后的圖形△A2B2C2,并直接寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的位置如圖所示,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)延長CBx軸于點(diǎn)A1,作正方形A1B1C1C;延長C1B1x 軸于點(diǎn)A2,作正方形A2B2C2C1,按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,第2018個(gè)正方形的面積為_____

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